数理逻辑

又称符号逻辑，是现代形式逻辑。它的发展，一方面是应用数学方法研究命题形式和推理规律，突破传统逻辑的局限，使形式逻辑的发展进入现代阶段；另一方面则是受数学基础研究的推动，深入研究数学证明的规律和数学基础研究中提出来的逻辑问题。经过100多年发展，数理逻辑已成为一门包括许多分支学科的科学。由于数理逻辑广泛采用数学方法即数学研究采用的方法，包括使用符号和公式，使用已有的数学成果和方法，特别是形式公理方法；同时，在研究内容方面，包括许多数学特有的逻辑问题，这样就使数理逻辑成为一门具有数学性质的科学，数理逻辑的一些分支成了数学的分支。数理逻辑的发展可以追溯到G．W．莱布尼茨。他提出了建立“普遍符号语言”、推理演算和思维机械化的思想。莱布尼茨本人没有实现他提出的目标，但数理逻辑的发展逐步(还没有全部)实现了莱布尼茨的理想。19世纪70年代，G．F．L．P．康托尔创立了集合论。G．弗雷格在1879年发表的《概念文字》一书中，建立了第一个谓词逻辑系统。这是数理逻辑进入奠基阶段的标志。从1879年弗雷格建立第一个谓词逻辑系统起，100多年来逻辑研究的领域不断扩大，新的分支接连创立，对数理逻辑产生了狭义和广义的不同理解。狭义的理解，数理逻辑就是一阶逻辑；较广义的理解认为数理逻辑包括一阶逻辑、模型论、公理集合论、递归论以及证明论这样5个部分；最广义的理解，把应用狭义数理逻辑的结果和方法而建立和发展起来的各种逻辑，即通常所说的非经典逻辑，都归在数理逻辑范围之内。

一阶逻辑，又称一阶谓词逻辑或狭义谓词逻辑，是自亚里士多德至19世纪中叶的形式逻辑或演绎逻辑的直接发展，是传统形式逻辑的精确化、严格化和完善化。它包括并进一步发展了传统逻辑对于命题逻辑和谓词逻辑的推理形式和推理规律的研究。就以演绎推理的规律为主要研究对象这一点来说，一阶逻辑和传统逻辑是一致的。但是，一阶逻辑不仅在内容上比传统逻辑大大丰富了，并且建立起了命题逻辑和谓词逻辑的精确完备的体系。一阶逻辑应用人工符号语言，从而有了精确分析和表示各种命题形式和推理规律的工具，同时应用形式公理方法，构造逻辑演算。一阶逻辑深入地研究命题联结词和量词的性质和由这种性质决定的推理规律，它对常真公式、逻辑后承、推演、证明等一系列重要概念的涵义，都有了精确的界定。特别是，由于建立了一阶逻辑的演算系统(形式系统)，从而能对一阶逻辑作整体的研究，揭示并严格地证明了一阶逻辑许多重要性质。特别是一阶逻辑的完全性的证明，标志着数理逻辑已发展到成熟阶段，其它的逻辑分支在此之后相继建立和发展起来。它是研究得最深透最完善的逻辑理论。一阶逻辑是数理逻辑的基础部分。

通常理解的数理逻辑包括一阶逻辑、模型论、公理集合论、递归论和证明论。模型论是研究形式语言和对它的解释之间关系的理论，属于语义的研究。对一个一阶语言L，给出一种解释，就是L的一个模型。模型论就是研究与L之间关系的理论。由研究一阶逻辑的性质而得的结果，如哥德尔完全性定理，就是模型论性质的结果。一阶逻辑的紧致性定理和勒文海姆－司寇伦定理是模型论的基础性定理。作为数理逻辑的一个分支学科，模型论在20世纪50年代形成。集合论在19世纪70年代由康托尔创立。19世纪末在集合论中发现悖论，这导致集合论的公理化，在20世纪初建立了集合论的公理系统，普通集合论发展为公理集合论，从而成了数理逻辑的一个分支，各门数学中的概念、定义、定理和证明都可以用集合论的语言来表达，各门数学都可以(在一定意义下)还原到集合论。因此，奠定数学基础就成为奠定集合论的基础，归结为公理集合论的研究。公理集合论对数学基础有特殊意义。对连续统问题的研究在公理集合论的发展中有突出的地位和作用。递归论研究可计算性和不可计算性，研究算法的一般规律。算法、计算的概念有和数学一样长的历史，但只在递归论建立之后，才有对算法、计算概念的精确分析和定义。有算法或没有算法，可讨算或不可计算都是对一类问题说的。对一类问题，如果有解它的算法存在，则这一类问题就都是可解决的，如果没有解它的算法存在，则这一类问题就不是都可解决的。这类问题就说是不可解的。研究问题类的可解性和不可解性就是数理逻辑中判定问题。是数理逻辑研究的重大问题。证明论以数学的证明为研究对象，开始阶段主要是为了证明数学理论的无矛盾性。哥德尔不完全性定理，使证明论研究的内容发生了变化，并对整个数理逻辑发展产生重大影响。四论都是在一阶逻辑基础上进行讨论和发展的，同时这5个部分又是相互渗透和相互影响的。这5个部分还有一个共同之处，它们的建立和发展都是和数学基础问题研究有深刻的联系。

在上述这种较广义的理解下，数理逻辑自然也包括了高阶逻辑(广义谓词逻辑)。二阶逻辑是一阶逻辑的一种自然推广，一阶(逻辑)语言的表达能力受限制，如在一阶逻辑中不能用一个公式表达数学归纳原则，把一阶逻辑中量词只允许约束个体变元，改变为允许量词也可以约束谓词变元，就推广为二阶逻辑了。二阶逻辑提高了表达能力，数学归纳原则就能用一个公式表达。有一些谓词不是表示个体的性质或关系，而是表示关系的性质，如对称性、传递性都是关系的一种性质，是谓词的谓词(二阶谓词)，引入二阶谓词，就从二阶逻辑推广为三阶逻辑了。这种推广也是自然的。至于类型论，则既可以看作是高阶逻辑，也可以看作是集合论的一个系统。

最广意义下的数理逻辑则把现在通称为哲学逻辑的各种非经典逻辑(non-classical logic)都包括在内。

经典逻辑是一种二值逻辑，每一命题或是真的或是假的，排中律是一个基本的逻辑原则。经典逻辑也是外延逻辑，其中有等词替换原则：a等于b，则在一个公式中可用a替换b(或用b替换a)，公式的真值不变。等值公式可以互相置换。在非经典逻辑中，上述的原则不成立或不都成立。各种非经典逻辑，除直觉主义逻辑外，一般同数学基础问题没有直接联系或关系。

非经典逻辑的门类很多。其中有的主要是对通常说的逻辑常项(命题联结词和量词)的解释不同，而成为与经典逻辑不同的逻辑。如直觉主义逻辑，对联结词和量词都作构造性解释。例如，对于直觉主义逻辑，“A或者B”的意义是“有一个关于A的证明(已知A真)或者有一个B的证明(已知B真)”。依照直觉主义逻辑下述命题：“每一≥4的偶数都是两个素数之和，或者并非每一≥4的偶数都是两个素数之和”是不能断定的。因为今天既没有证明哥德巴赫猜想也没有否证哥德巴赫猜想。排中律在直觉主义逻辑中不成立。所谓相干逻辑，主要是联结词“如果，则”的涵义与经典逻辑中的不同，经典逻辑中的蕴涵是实质蕴涵，相干逻辑中的蕴涵是相干蕴涵。在相干逻辑中，A→B成立，A与B必是相干的；对相干的一种解释就是指A和B中有共同的命题变元。

有一类非经典逻辑，是在一阶逻辑的命题联结词之外，还增加其它的初始概念，如在模态逻辑中有模态词“必然”、“可能”；在时态逻辑中有关于时态“过去”、“将来”的算子；在认识逻辑中有关于“知道”的算子，等等。这一类逻辑研究这种新增加的逻辑词或半逻辑词的逻辑性质及其推理规律。

有的非经典逻辑则与自然语言有更密切的联系。

在历史上，很早就有过对非经典逻辑的研究。早在古希腊时期，亚里士多德就研究过模态逻辑，第欧多鲁·克罗纳的著作就包含时态逻辑的思想。现代对非经典逻辑的研究，是从1910年以后开始的。最早提出和建立的非经典逻辑系统，是C．I．刘易斯建立的模态命题演算；J．卢卡西维茨和E．L．波斯特分别于1920年和1921年建立了多值逻辑。

一阶逻辑是研究和建立各种非经典逻辑的基础。非经典逻辑研究都应用一阶逻辑的成果和方法。各种非经典逻辑，除上述的那些与经典逻辑的关系外，还有这样或那样的联系。直觉主义逻辑与经典一阶逻辑在性质上有很大不同，但是有一种变换，用它可以把一阶逻辑的定理变换为直觉主义逻辑的定理。有的非经典逻辑，如时态命题逻辑，是经典命题逻辑的直接扩充，除了增加时态算子和相关的公理、规则外，原来的经典命题逻辑保持不变。