三垂线定理的逆定理

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第93页（1446字）

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

例1 已知Rt△ABC，斜边BC∥平面α，A∈α，AB，AC分别与平面α成30°和45°角，已知BC=6，试求BC到平面α的距离．

策略 求平行线与平面的距离，通常转化为点到平面的距离，本题解题的关键是如何将已知条件中AB，AC与平面α所成的角在图中表示并合理运用．

解 如图作BB₁⊥α，B₁为垂足，作CC₁⊥α，C₁为垂足，连AB₁，AC₁，则∠BAB₁=30°，∠CAC₁=45°，设CC₁=x，则

又∵BC∥α，∴BB₁=CC₁=x，AB=2x．

在Rt△ABC中，BC=6，∠BAC=90°，

∴BC²=AC²+AB²，即36=2x²+4x²，∴．

即BC到平面α的距离为．

例2 证明 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角．

证明 设l是平面α的一条斜线，l′是l在α内的射影，点O是斜足，m是α内任一条与l′不平行的直线．

若直线m过点O，则由教科书所述，l与m所成的角不小于l与l′所成的角θ．

若直线m不过点O(如图)，则过点O作直线m′，使m′∥m，m与l所成的角等于m′与l所成的角，从而m与l所成的角大于θ．

例3 在正方体A₁B₁C₁D₁—ABCD中

求证：B₁D⊥平面A₁C₁B．

策略 利用三垂线定理证明，但要把B₁D在平面A₁C₁内的射影和B₁D在平面A₁B内的射影找出来，关键找“垂足”．

证明 连结B₁D₁，BC₁，如图．

∵DD₁⊥平面A₁C₁，D₁为垂足，∴B₁D₁是B₁D在平面A₁C₁内的射影，∵B₁D₁⊥A₁C₁，∴B₁D⊥A₁C₁(三垂线定理)．

连结AB₁，∵AD⊥平面A₁B，A为垂足，

∴AB₁为B₁D在平面A₁B内的射影．

∵AB₁⊥A₁B，∴B₁D⊥A₁B．

点评 应用三垂线定理及其逆定理时，一般按以下顺序思考：(1)找平面垂线；(2)找平面内直线a；(3)若a垂直于射影，则a垂直于它的斜线，反之亦然．