抛物线的几何性质

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第78页（2950字）

抛物线的标准方程y²=2px(p>0)的几何性质

1．范围：抛物线在y轴的右侧，当x增大时，|y|也增大，即抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2．对称性：抛物线关于x轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，因此，它的顶点是坐标原点．

4．离心率：抛物线上的点M与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按定义：e=1．

5．通径：经过焦点而垂直于对称轴的弦，通径长为2p．

解中点弦的方法：点差法．

焦点弦中的问题：

若过焦点F的直线交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则①|AB|=x₁+x₂+p；②，y₁y₂=—p²；③ ；④(θ为直线AB的倾斜角)；⑤以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．

例1 根据条件求顶点在原点抛物线的标准方程：

(1)关于y轴对称且过点(—1，—3)；

(2)过点(4，—8)．

策略 根据条件(画出草图)确定抛物线的形状及其标准方程，用待定系数法求解

解 由草图(1)所示设抛物线方程为x²=—2py(p>0)，

将(—1，—3)代入方程得(—1)²=—2p·(—3)，

所以p=1/6，所以所求方程为x²=—1/3y；

(1)

(2)

(2)由草图(2)所示设抛物线方程为y²=2px(p>0)或x²=—2py(p>0)，将(4，—8)代入y²=2px得p=8，

将(4，—8)代入x²=—2py得p=1．

所以所求方程为y²=16x或x²=—2y．

例2 某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为3/4m问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航?

策略 选建立抛物线的方程，根据对称性，使船的轴线与抛物线对称轴重合，问题转化为求出当x=2时的y的值．

解 据题设知点A(4，—5)在抛物线x²=—2py(p>0)上，

．．4²=—2p·(—5)p=1．6．

．．x²=—3．2y(—4≤x≤4)．

设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距hm时，船开始不能通航，这时船面两侧与抛物线拱顶接触，于是可设船面宽BB′的端点B的坐标为(2，y₁)由2²=—3．2y₁y₁=—5/4，

h=|y₁|+3/4=|—5/4|+3/4=2m．所以，当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时，船开始不能通航．

例3 在抛物线y²=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A(3，2)的距离之和最小．

策略 画草图可知，要使|PA|+|PF|最小，只要把|PF|转移到与PA在同一直线上时即可

解 如上图，设抛物线上的点P到准线的距离为|PQ|．

由抛物线定义可知

|PF|=|PQ|，

∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|．

显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小

∵A(3，2)，可设P(x₀，2)，代入y²=2x得x₀=2．

故点P的坐标为(2，2)．

例4 如图，A、B是抛物线y²=4ax上的两动点，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求动点P的轨迹．

解 设A、B两点的坐标分别为(at₁²，2at₁)、(at₂²，2at₂)(t₁·t₂≠0，t₁≠t₂)．

由OA⊥OB知，点O(0，0)在以AB为直径的圆上，这个圆的方程为(x—at₁²)(xat₂²)+(y—2at₁)(y—2at₂)=0．

∵，

∴t₁·t₂=—4．

当AB与x轴垂直时，t₁=—t₂，t₁²=4，点P的坐标为(4a，0)．

当AB不与x轴垂直时，

AB的方程为(xat₁²)，

即2x—(t₁+t₂)y—8a=0． ①

OP的方程为，即(t₁+t₂)x+2y=0． ②

由①、②消去t₁+t₂得x²+y²—4ax=0，

即(x—2a)²+y²=4a²，显然点(4a，0)适合此方程．

∴点P的轨迹是以点(2a，0)为圆心，以2|a|为半径的圆．