正余弦定理的适用题型

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第53页（1409字）

1．余弦定理的适用题型．

①已知三边，求三角．

②已知两边及其夹角，求第三边．

2．正弦定理的适用题型

①已知两角及一边，求其余的边和角．

②已知两边和一边所对的角，求其余的边和角．

但此种类型有多解的情形，具体解的情况举例说明．

如已知a，b和A求B时，解的情况如下：

A为锐角时，1°a

2°a=bsinA，一解．

3°bsinA

4°a≥b，一解．

A为直角或钝角时，1°a≤b，无解．

2°a>b，一解．

例1 在△ABC中，已知c⁴—2(a²+b²)c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，求角C．

分析 将关于三边的等式进行适当变形，利用余弦定理求角．

例2 在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C和c．

分析 这是已知两边一对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC是否有解，有几解，亦可用余弦定理求解．

解 ∵B=45°<90°，且b

由正弦定理得

例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．

解 如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积

由余弦定理，在△ABD中

BD²=AB²+AD²—2AB·ADcosA

=2²+4²—2×2×4cosA

=20—16cosA．

在△CDB中，

BD²=CB²+CD²—2CB·CDcosC

=6²+4²—2×6×4cosC

=52—48cosC．

∵20—16cosA=52—48cosC，

∵cosC=—cosA，

∴64cosA=—32，cosA=—1/2．

∴A=120°，∴．