集合论公理系统

如同平面几何中的点、线、面一样，集合是一个不加定义的原始概念。集合和属于关系∈是通过公理刻划的。例如，“任一集合由它的元素所唯一决定”是通过外延公理刻划的。“存在一无穷集合”是无穷公理所断定的。集合的运算(如无序对、并、幂等)也是通过公理加以刻划和保证的。虽然每一公理都不是借助于直观(因为直观不严谨可能发生错误)而是借助于严谨的形式语言加以刻划的，然而公理的背景都是很深刻和很直观的，它们来源于G．康托尔的素朴集合论，是从他的理论中抽象出来的基本原则。因此，每一公理都是刻划集合和类的某一基本性质。把某些公理收集在一起组成刻划集合或类的特征的若干基本原则，就称为集合论的一个公理系统。具体地说，在康托尔集合论中包含着深刻的、丰富的、新型的推理方法。悖论的发现促使人们借助于公理化方法，以期排除集合论中的已知悖论并系统地整理G．康托尔的理论和方法。1908年出现两个著名的公理系统，这就是E．F．F．策尔梅洛的系统和B．A．W．罗素的类型论。之后，集合论公理系统的研究成了一个重要的方向和领域。策尔梅洛的系统经A．A．弗兰克尔和A．T．司寇伦等人修改补充所获得的系统，常称之为策尔梅洛－弗兰克尔系统，并简记为ZF(参见策尔梅洛－弗兰克尔公理系统)。此外，还出现了一些新的系统，其中最著名的是J．冯·诺伊曼1925年提出的系统，后经P．贝奈斯、K．哥德尔修改形成的哥德尔－贝奈斯系统，人们通常把这个系统记作NBG或GB(参见哥德尔－贝奈斯公理系统)。

类型论 关于集合的型的层次理论。它包括两部分的内容：简单类型论和分支类型论。在简单类型论中，每一集合都有一确定的层次。一集合x能够是另一集合z的元素，当且仅当z的层次比x的层次恰好多一。层次为0的对象是本元(或称为个体，也称为原子)。在这一系统中，变元是带有层次的。对于每一自然数n，都有n层的变元x，z等，它们表达n层对象。所以，这里有无穷多个原始概念，即有无穷多个不同类型的集合。在这一形式语言中，对于任意的变元x，y，z，x∈y为一合式公式，当且仅当j=i+1。没有不附加型的对象(或变元)。每一对象(或变元)都有一自然数n，使得它恰好是n型对象(或n型变元)。人们不能够泛泛地说，所有的对象如何如何，而只能说某一型的所有对象如何如何。当某一对象并不比某一集合的型恰好小1时，说那个对象是该集合的元素，不仅是错误的，而且是毫无意义(即无定义的)。从这些初级公式出发，经联结词、量词运算所获得的语言称为带类型的集合论语言。系统的公理是外延公理，概括公理，乘法公理和无穷公理。

①外延公理。对于任意给定的同一型的两个对象，例如，它们均为n型对象x，y，如果对于任意的n+1型对象z，使得x在z中，当且仅当y在z中，则x与y为同一对象，即x=y。形式地说，就是

xy(z(x∈zy∈z)→x=y)

应当注意，这里的外延公理的陈述方式与ZF的外延公理的陈述方式是有差别的。

②概括公理。对于任意的公式A(x)，都存在一个i+1型的集合y，使得

yi+1=｛x｜A(x)｝

③乘法公理。对于任意不空的i+1型的集合x，若它的任一元x都是不空的，且x的任意两个不同的元都是不交的，则存在i型的集合y，使得x的任一元x中恰好有一元属于y。反之，对于y的任一元，x也一定有一元x，使得x含有y的这一相应元。形式地表示，就是

应当注意，对于每一型都有一个相应的空集合Φ，上述公式中实际上已出现了i+1型空集合与i型空集合。(文中省去了它们的下标。)

④无穷公理。断定存在一个具有无穷多个元素的集合。为了严格地陈述这一公理，先引进一些预备概念。对于两个i型的对象x，y，单元集｛x｝与无序对集合｛x，y｝都是i+1型的对象，有序对〈x，y〉定义为｛｛x｝，｛x，y｝｝，是i+2型对象。这样，以〈x，y〉为元素的集合(即i型对象的二元关系)就是i+3型的对象。为了断定存在一无穷集合，只须断定有无穷多本元就够了。关于本元的二元关系为3型集合R。公式xR(x，x)表示关系R是非自反的，也就是说，对于任意的本元x，〈x，x)R。公式xy0z(R(x，y)∧R(y，z)→R(x，z))表示R是一传递关系。无穷公理的形式化陈述为：

人们把由上述公理①～④组成的形式系统称为罗素简单类型论，并记做T．这一系统不仅有无穷多个原始概念，而且它的公理也是无穷多条，因为公理②是一公理模式。

简单类型论避免了罗素悖论和康托尔悖论，对数学、逻辑学都产生了巨大的影响，已为逻辑学家所公认；它已体现在各种逻辑系统的形成规则之中。20世纪60年代A．鲁宾孙在创立非标准分析时运用了这种方法。20世纪80年代以来，它在计算机领域内又获得了广泛的应用。简单类型论也有它的局限性，它不能避免另外一些悖论，如J．A．理查德悖论。因此，罗素又引进了分支类型论。

在分支类型论中，研究的问题更为复杂。它把同一型的集合再分为不同的层次，高层次的集合不能再作为低层次的集合看待。最低层次的集合称为直谓的，决定它们的性质(谓词)也称为直谓的性质(谓词)，其它的集合(性质、谓词)称为非直谓的。例如，一个n+1型集合S，如果对于任一n型对象x，必须考察n+1型整体方能决定x是否属于S时，则集合S是非直谓的。非直谓的层次是高的。由概括公理，一性质(谓词或公式)决定一集合，这样，非直谓的集合可以借助于定义它的性质来说明。又如，罗素说：一个典型的英国人具有大多数英国人所具有的性质。其中“具有大多数英国人所具有的性质”也是一种性质，可是，这一性质涉及个体性质的全体。由此，称它为非直谓的性质。一般说，凡涉及某一类型性质的全体而又是此类型的性质就叫做非直谓的性质。从公式角度看，例如，设z为一3型集合，令公式A(x)为y(x1∈y∧y∈z)在其中含有一型变元x的自由出现。由概括公理，这一公式决定一个2型集合：

而S要借助于包括S在内的2型集合整体来定义。这样，S是一非直谓的集合，A(x)为非直谓的公式(或称非直谓的谓词)。不是非直谓的集合(性质、谓词)就称为直谓的集合(性质、谓词)。

分支类型论可以避免诸如理查德悖论，但又遇到了新的困难。对于一个集合，人们不能笼统地说此集合的所有元素(它们是较低型的集合)都有哪些性质，而必须分层次才能断定。实数就是这样的集合。对实数就不能作出单一的断定。因此，分支类型论不能作为描述数学的工具。为了弥补这一缺点，罗素又增加了一条可约性公理或称为还原公理：每一非直谓性质(谓词)都有一直谓性质(谓词)与之等价。由此，一切型的集合都是直谓的。这样一来，又等于取消了分支类型论。

奎因的新基础系统 一种层次化的集合论公理系统，它是类型论的一种扩充。就形式方面而言，这一系统是很简单的，它对类型论的主要革新在于使用了公式的层化原则，从而取消了变元的类型指标。然而它与类型论T的解释却是很不相同的。这一系统由W．V．奎因在他1937年的论文中提出，他称为“新基础”(New Foudations，简记做NF)。NF的语言与ZF的语言相同(参见策尔梅洛－弗兰克尔公理系统)，它是一阶(一种类)的集合论语言。一公式叫做层化的，如果按下述方式对此公式中的每一变元都作赋值，使得赋值后对于公式中的每一符号“∈”的出现而言，位于“∈”后边的数值恰好是它前边的数值的后继数。

赋值方法：每一变元都必须赋予一自然数，并且在一个公式中相同的变元必须赋予同一个自然数，并且在符号“∈”后边的变元所赋的数必须比它前边的变元赋的数大于1，如公式x∈y，当把x赋予n时，y就必须赋予n+1。

例如，公式(x∈y∧y∈z)是层化的，因为可以把x，y，z分别赋于1，2，3。显然，公式(x∈y∧y∈z)∨(x∈w∧w∈z∧z∈u)也是层化的。但是，公式(x∈x)，(xx)(即x∈x)，以及(x∈y∧y∈x)都不是层化的。

NF的公理有：

①处延公理

这与ZF的外延公理相同，它们都是说，一集合是由它的元素决定的。

②Z形概括公理：如果F(x)是一层化公式且变元x在F(x)中自由出现，y不在F(x)中出现，则有

上述“Z”为Zigzag的缩写，可译为“曲折公理”或“之形公理”。粗略地说，在类型论T中的概括公理去掉类型标号所得结果与上述Z形公理是相同的。尽管有如此相类似，NF与T却完全不同，比如，我们可以在NF中证明存在一通用集合V，特别地有V∈V。因此，T的直观模型对于NF来讲是不真的。在NF中通用集合V似乎包含着无穷多个元素，但却不能证明相当于T中的无穷公理。由此，在NF中就不可能发展数论。为了弥补这一缺陷，奎因在他的专著《数理逻辑》(Mathematical Logic，1940年第一版，1951年第二版)中把NF扩充为一新的系统，人们把这一系统记为ML。

ML系统：一种处理类与层化公式的集合论公理系统，它是NF的一扩充的系统。这一系统建立在二种类的集合论语言上(见哥德尔－贝奈斯公理系统)。ML的公理如下：

①外延公理：

这是NF①的推广。

②概括公理：与NF的Z形概括公理相同，但必须特别指出，此时的公式F(x)中的变元必须全是小写字母，即集合变元。

③类存在公理：如果F(x)为二种类集合论语言的任一公式，x在F(x)自由出现，Y不在F(x)中出现，则有

由于F(x)的任意性，文献中也常称它为非直谓类的概括公理(参见奎因－贝奈斯公理系统)。

上述公理系统NF、ML都有显著的特色，至今仍为人们所关注。

在集合论文献中，还有若干有意义的系统，如QM(见奎因－莫尔斯公理系统)、阿克曼系统A等等。为适应范畴论基础的需要所建立的系统ACG可以建立QM的协调性证明。与强无穷公理有关的系统(参见强无穷公理)有着显著的特征，始终为人们所关注。在公理系统的强度和协调性层谱方面也有若干研究。

集合论公理系统并不是随意的，而是有它的科学标准，这就是：①能够描述康托尔理论的丰富内容，建立康托尔理论中的已有的定理；②能够摆脱以往出现的悖论；③便于解决集合论的未解决的问题，中心问题是连续统假设。前两条是基本的。当然，能否保证一系统的协调性，总是人们关心的首要问题。但是由哥德尔第二不完全性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果它是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理系统才能证明。正是在这种意义下，关于公理系统的强度与层谱的研究是有意义的、重要的。关于③，由K．哥德尔和P．J．科恩的工作可知，CH既不能被证明，也不能被否证。在现有的著名集合论公理系统内，都不足以解决连续统假设。这正是人们在不断地寻求新公理系统的主要原因之一。人们总希望能找到为大家所接受的科学的公理系统，并且得以解决集合论中那些著名的未解决的问题。