欧拉图解

瑞士数学家L．欧拉(Leonhard Euler 1707～1783)所创的用圆之间的关系表示非空非全的集合之间的关系的方法。此方法后经法国数学家J．D．格岗尼在1816年加以改进。欧拉图解可用以表示有关直言命题的一些推理。

欧拉图解的基本形式以圆表示非空非全的集合，它们即词项的外延。圆中的点是集合的元素。两圆S和P有且只有以下5种关系之一。

①S与P全同：凡S是P并且凡P是S。

②S真包含于P：凡S是P并且有P不是S。

③S真包含P：凡P是S并且有S不是P。

④S与P交叉：有S是P，有S不是P并且有P不是S。

⑤S与P全异：无S是P。

欧拉图解表示直接推理，①直言命题的对当关系。直言命题在上述5种关系下的真假情况有如下表：

由上表可知直言命题的对当关系成立。

②直言命题的换位。1，SAP真的情况为：Ⅰ，Ⅱ。在此两种情况下PIS都真。故SAP可换位为PIS。2，SEP真的情况为Ⅴ。在此情况下PES真。故SEP可换位为PES。3，SIP真的情况为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。在此4种情况下，PIS都真。故SIP可换位为PIS。4，SOP真的情况为Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ。POS真的情况为Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ。SOP真时POS不必真。故SOP不能换位为POS。

欧拉图解表示三段论，三段论涉及S、M、P三个词项，应画S、M、P3个圆来表示。依次给出大前提真，小前提真的图解，两前提都真的图解，然后判定能得什么结论，不能得什么结论。

①第一格AAA式，AAI式的图解

MAP真的情况：

SAM真的情况：

MAP和SAM都真的情况：

在以上aα，aβ，bα，bβ 4种情况下，SAP都真。故第一格AAA式成立。在以上4种情况下SIP都真，故第一格AAI式成立。又，在以上4种情况下，SEP不都真，故第一格AAE不成立。SOP也不都真，故第一格SOP也不成立。

②第一格EAE式，EAO式的图解

MEP真的情况：

SAM真的情况：

MEP和SAM都真的情况：

在以上aα，aβ两种情况下，SEP都真，SOP都真，故第一格EAE式，EAO式均成立。又，在以上两种情况下，SAP都不真，SIP也都不真，故第一格EAA式，EAI式都不成立。

③第一格AⅡ式的图解

MAP真的情况：

SIM真的情况：

MAP和SIM都真的情况：

在以上aα，aβ，aγ，aδ，bα，bβ，bγ，bγ，bγ，bγ，bδ，bδ这12种情况下，SIP都真。故第一格AⅡ式成立。又，在以上12种情况下，SAP、SEP、SOP均并非都真。故第一格SAP、SEP、SOP都不成立。

④第一格EIO式的图解

MEP真的情况：

SIM真的情况：

MEP和SIM都真的情况：

在以上aα，aβ，aγ，aγ，aγ，aδ，aδ，aδ，这8种情况下，SOP都真。故第一格EIO式成立。又，在以上8种情况下，SAP、SEP、SIP均并非都真。故第一格SAP，SEP，SIP都不成立。

其余情况可类推。也可以用欧拉图解来表示三段论的基本规则，但图形太繁复。

欧拉图解的优点是直观上相当清楚。主要缺点是不能表示空集和全集，不能表示求补运算。所以无法表示换质。另一个次要的缺点是图与推理关系不能一一对应，有时要用许多图来表示一种推理关系。欧拉图解难于表示更复杂的推理关系。经过改进的图解——文恩图解可以表示论域及并、交、补各种关于集合的运算，也可以表示换质，换拉、三段论等推理。