拓扑模型

直觉主义逻辑的一种语义解释，最初由A．塔尔斯基于20世纪30年代提出，50年代末出现的克里普克模型和贝思模型都跟拓扑模型密切相关。塔尔斯基于1938年证明了直觉主义命题逻辑相对于拓扑模型的完全性。莫斯托夫斯基(A．W．Mostowski)于1948年把拓扑模型应用到直觉主义谓词逻辑，得到了一些不可推导性结果。

直觉主义逻辑的拓扑模型以数学中拓扑空间的概念为基础。所谓一个拓扑空间，是指一个集合X以及由它的某些子集组成的一个开集族，X属于，并且的任二个元素的交以及的任一个子族的并仍在中。被称为X上的一个拓扑，中的元素被称为X的开子集或简称为开集。由于空集Φ是的空子族的并，因而Φ是开集。仅以Φ和X为元素的子集族也形成X上的一个拓扑，被称为平庸拓扑。另一极端情形是由X的所有子集形成的子集族，被称为X上的离散拓扑。在此拓扑下X的任一个子集都是开集。给定一个集合X，要想定义X上的一个拓扑，可以利用拓扑基来进行。称X的一个子集族B为一个拓扑基，当且仅当，X中任一个点总是B中某元素的元素，并且对于X的任二个含有同一个点p的子集A和A而言B中总有某个含有p的元素A为A∩A的子集。有了一个拓扑基B，我们就可得到一个拓扑，此拓扑中的开集就是B中任意多个元素的并。如果点p属于一个开集U，则称U为p的一个邻域；当这个U是在拓扑基中时，则还被称为基本邻域。

拓扑模型的根本想法就是用拓扑空间中的开集来解释命题。给定一个拓扑空间(X，)。如果不考虑谓词部分，那末一个指派也就是为各个命题变项p指定一个开集v(p)的映射v。给定一个指派v后，可以递归地将其扩张成一个赋值：

　　v(A∧B)=v(A)v(B)，

　　v(A∨B)=v(A)∪v(B)，

　　v(A→B)=Int(v(B)－v(A))，

　　v(A)=Int(X－v(A))；

这里，∪、∩、一指通常的集合运算并、交、差，Int指拓扑空间(X，)中的取内部运算：当yx时，Int(y)定义为被含于y的最大开集。如果要考虑谓词部分，那就还必须给定一个个体域V，并增加有关量词的赋值定义：

　　v(xA(x))=∪｛v(A(a))：a∈V｝，

　　v(xA(x))=Int(∩｛v(A(a))：a∈V｝)；

这里，∪和∩指集合论中常用的任意并和任意交运算。如果对于任一个赋值v都有v(cl(A))=X，这里cl(A)指公式A的全称闭包，那末称A在拓扑空间(X，)中为真，记成(X，)A。如果A在所有的拓扑空间中都为真，那末A为真，记成A。直觉主义逻辑相对于拓扑模型是可靠而又完全的，即，A为直觉主义逻辑的定理当且仅当A在所有拓扑空间中为真。在发现拓扑层和拓扑斯以后，有一些逻辑学家于70～80年代提出了更为普遍的拓扑解释。