选择公理
公理集合论中的一条重要的公理，简记做AC，它可表述为：如果S是由不空的集合组成的一集合，则存在一个函数f，使得对于S中的每一集合x，都有f(x)∈x成立。换言之，当S是由某些不空集合组成的一集合，问是否存在一种原则(即函数f)，使得按照这一原则在S的每一集合x中都能恰好挑选出一个元素。在许多情况下，上述问题的答案是肯定的。但是在一般情况下，是否能肯定呢?当人们肯定地回答时，它就称为选择公理。
19世纪，人们在数学论证中经常使用选择公理，但尚未深入研究它的不同的表现形式和推论。例如，1890年G．皮亚诺在证明常微分方程解的存在性定理时，陈述了选择公理，并且对它提出了怀疑。G．康托尔在研究良序理论时提出，是否每一集合都可良序的问题。1904年E．F．F．策尔梅洛证明了这一定理，即每一集合都是可以良序的。在证明中他用现代术语，严格地陈述了选择公理。G．康托尔最早使用选择公理的等价形式，即关于集合势的三分法原则：对于任意的集合S与S，下述三式
，，
中恰有一个式子成立。其中表示集合S的势。1915年F．哈尔托格斯证明了集合势的三分法原则与选择公理是等价的。自20世纪初以来，B．A．W．罗素、F．豪斯道夫、K．库拉托夫斯基等人先后发现和证明了，选择公理与乘法原则，良序定理，佐恩引理等成百个数学命题是等价的，并且在数学的许多分支中有着广泛的应用。这就使选择公理更加引人注意了。比如，连续函数的ε－δ型与序列型两种定义，由选择公理可以证明是等价的；但是没有选择公理，就不能证明它们是等价的。利用力迫方法可以证明，存在着选择公理不成立的模型，其中有一函数f和一个实数x0，使得f于点x在ε－δ型意义下是不连续的，但在序列型的意义下是连续的(即对于任意的序列｛x｝，若x=x，则有f(x)=f(x)．)又如，关于有穷集合的两种常见的定义：①对于任意集合S，如果有一自然数n，使得S中恰有n个元素，则称S为有穷集合。S不是有穷集合时，就称为无穷集合。②对于任一集合S，如果有S的一真子集合与S是一一对应的，则称S为D无穷的；当S不是D无穷时，就称S是D有穷的。在有选择公理时，①与②是等价的；在无选择公理时，则不能证明它们是等价的。利用力迫方法可以证明，存在着一个选择公理不成立的模型，在其中有一集合S，按照①它是无穷的，按照②它是D－有穷的。
大量的事例说明选择公理是现代数学的一个基本原则和基本方法，没有它和它的等价形式，数学的许多分支将是寸步难行的。但是，选择公理是否合理和正确，却一直存在着争议。一些数学家怀疑、反对它，一些数学家毫无保留地赞同、应用它。各有各的理由。反对的理由之一是，按照它实数集合是可良序的，但至今人们没有找到它的良序。反对的理由之二是，1924年S．巴拿赫和A．塔尔斯基使用选择公理揭示了对球体的分解与组合的悖论(把一个球切成有穷个片断，然后再重新组合，可得到与原球有相同尺寸的两个球)。这样，选择公理就成了数学基础中的一个很突出的问题了。
20世纪60年代以来，J．迈切尔斯基等人提出一条相当基本的数学原理，称为决定性公理，并在此前提下证明了许多有趣的结果。例如：①实数的不空集合的每一可数集族都有一选择函数；②实数的每一集合都是勒贝格可测的。①表明在某些条件下选择公理是成立的；②则表明选择公理并不总成立，因为，使用选择公理可以证明存在勒贝格不可测的集合。不难看出，上述①是选择公理的一种较弱的形式(对可数集合而言)，而②的否定式是选择公理的一种较强的形式。有这样一种可能，就是选择公理的一般形式不成立，而它的某些较弱的形式是成立的。P．贝尔奈斯、A．塔尔斯基、K．库拉托夫斯基、P．莱维、J．D．哈尔佩恩和T．J．杰希等人系统地研究了选择公理的较弱的形式，并且证明了它们可以由选择公理推导出来，但它们不能推导出选择公理；同时也揭示了这些较弱的形式在各自的应用中都是不可缺少的。选择公理有如下一些弱的形式。
①次序原则(简记做OP)：每一集合都能够线序。
②对于n个元素集合族的选择(简记做Cn)：对于任一具有n个元素的集合族S(即若x∈S，则x恰有n个元素)，都有一函数f，使得若x∈S，则f(x)∈x。
③对于有穷集合族的选择(简记做ACF)：对于任一有穷的集合族S(即若x∈S，则x为一有穷集合)，都有函数f，使得若x∈S，则f(x)∈x。
④序扩充原则(简记做OEP)：任一集合S的每一偏序都能够扩充到S的一线序(或称全序)。
⑤挑选原则(简记做SP)：对于每一集合族S(它的任一元至少有两个元素)都存在一函数f，使得对于S中任一元x，都有f(x)≠Φ且f(x)是x的一真子集合。
⑥ACW：对于任一良序集合，选择公理成立。
⑦素理想定理(简记做PIT)：每一布尔代数都有一素理想。
上述①～⑦都是AC的推论。用A→B表示A蕴涵B，即在无选择公理的ZF中，有ZF┝A→B。用AB表示A不蕴涵B，即ZF┝AB。已有下述结果：
这说明，对于数学理论而言，不仅选择公理具有逻辑格的作用，而且它的一些弱形式也有这种作用。对于选择公理的研究说明，确立数学公理是十分严肃的科学研究工作，而绝不能被少数数学家随心所欲地虚构。
选择公理对于逻辑学还有一个重要的作用，就是它不能还原为逻辑原则，罗素曾试图把数学还原为逻辑，他后来发现选择公理，无穷公理都不能还原为逻辑。