直觉主义

在第三次数学危机后产生的一种解决数学基础问题的理论，由此产生的学派称为直觉主义学派，以L．E．J．布劳维尔为代表，其成员有A．海廷、H．魏尔等。直觉主义学派有比较系统的哲学观点，布劳维尔明确承认他的哲学观点来源于Ⅰ．康德的先验主义。布劳维尔认为，数学真理是先天综合的真理；数学的基本直觉建立在“内直觉的纯形式”的先验时间概念的基础之上，这种直觉就是“二·一性直觉”。由二·一性直觉就产生了从n到n+1的关系，从而产生了自然数序列，线性连续统和几何。由此可见，布劳维尔的直觉主义的数学哲学是康德的唯心主义先验论的继续和发展。

以布劳维尔为首的直觉主义学派是数学基础和数理逻辑中的一个学派，并不是专门从事唯心主义哲学研究的一个流派。在整个直觉主义理论中，主流是直觉主义的数学和逻辑理论，这是具体的科学理论，这里，“直觉主义的”一词应理解为“构造性的”。直觉主义的数学和逻辑理论要同直觉主义哲学严格区别开来。布劳维尔的直觉主义数学遵循以下3条基本原则：①潜无穷论，即认为无穷只是一种变化着的、成长着的、被产生出来的东西，不承认实无穷(实际存在的无穷总体)以及与之有关的东西。②不能普遍使用排中律，例如对有穷集有效的排中律不能用于无穷集。③数学对象的可构造性，所谓可构造就是能具体地给出一个对象或能给出一个可以得到某一对象的计算方法；直觉主义者只承认构造性证明，不承认非构造性的间接证明。直觉主义学派认为，逻辑是数学的一部分，是从数学推出来的。在直觉主义逻辑中，排中律、反证律、双重否定消去律等不是有效的逻辑规律，因此，它与经典的逻辑演算不同，是一种非经典逻辑。直觉主义逻辑与经典逻辑有以下关系：①直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真部分；②经典逻辑可定义在直觉主义逻辑之中，经典的形式算术可在直觉主义的形式算术中得到解释，因此，经典的形式算术相对于直觉主义的形式算术是一致的。

直觉主义的数学和逻辑理论开辟了构造性数学和逻辑研究的新方向；直觉主义学派也强调“能行性”，因此也开辟了能行性研究的新方向。