抽象模型论

研究各种逻辑之间的关系和诸逻辑的不同的模型论结果之间的关系的模型论理论。抽象模型论的研究从林德斯特洛姆证明关于一阶逻辑的特征的结果开始。一阶逻辑是最基本的逻辑，但一阶逻辑在表达能力上有局限性，如有许多数学概念和命题不能在一阶逻辑中表达。逻辑学家推广一阶逻辑，建立了多种比一阶逻辑更丰富的逻辑，如无穷逻辑、带有广义量词的逻辑(广义量词是指量词：“存在无穷多个”、“存在不可数多个”)等。定义一种具有若干性质的逻辑系统叫抽象逻辑，林德斯特洛姆证明，一阶逻辑是紧致性定理和勒文海姆－司寇伦定理成立的唯一逻辑。不论怎样丰富一阶逻辑，必定或者失去作为模型论基础定理的紧致性定理和勒文海姆－司寇伦定理二者中的一个，或者越出抽象逻辑概念的范围。一阶逻辑有可数紧致性，在其中量词“存在至多有穷多个”是不可定义的。在增加量词“存在无穷多个”的逻辑L(Q)中，紧致性定理不成立。无穷逻辑Lωω也一样，有勒文海姆－司寇伦定理而紧致性定理不成立。由勒文海姆－司寇伦定理，“存在不可数多个”在一阶逻辑中不可定义。在增加量词“存在不可数多个”的逻辑L(Q)中，有紧致性定理而勒文海姆－司寇伦定理不成立。有一种处理拓扑模型的逻辑，有紧致性定理和勒文海姆－司寇伦定理，但不是抽象逻辑。在有林德斯特洛姆的结果之后，逻辑学家试图为其它的逻辑找到林德斯特洛姆型的特征定理，这方面有一些结果，但不多，还离目标尚远。

抽象模型论研究发现，诸逻辑的种种性质之间的关系，不只是用它们的性质刻划各逻辑的特征，还有更多的内容。抽象能用来把大量的例子、概念和结果系统化，帮助我们更清晰地理解我们已经知道的东西。而这通常导致新概念的出现，并且提出能用新概念陈述的问题和定理。抽象模型论的目的之一是用它们的最重要的性质发展诸种逻辑的分类。这使得掌握这些性质之间关系成为必要。一些逻辑的性质在一阶的情形下有相同的外延，但在一般情形下却有很不同的外延。在一阶逻辑中，内插定理和罗宾逊协调性定理是等价的。但是，一般说来，后者要比前者更强。在无穷逻辑Lωω中，有内插定理而罗宾逊协调性定理不成立。同样，因为有勒文海姆－司寇伦定理，强紧致性和可数紧致性之间的差别在一阶逻辑中是不太显著的。但是，一般地，可数紧致性要弱得多。其它一些重要的性质，也有类似的情形。以上介绍的只是说明抽象模型论面貌的若干比较容易理解的结果。抽象模型论研究很广泛的课题，并且已有很丰富的内容。