直角三角形边角关系的实际应用

例1 如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着水平方向成75°角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°，又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高．(保留准确值)

解过点A作AD⊥BC于D，

在Rt△ADC中，∠ACD=75°－30°=45°，AC=35×40=1400(m)，

∴(m)．

在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD=1400(m)．

又过点P作PE⊥AB于E．

则AE=PE，．

∴．

∴(m)．

答 A庄与B庄的距离是1400m，山高是700()m．

例2 如图，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知小丽所住的电梯公寓高82m，请你帮助小丽计算出大厦高度BC及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC．

解过点D作DE⊥BC于E，则DE=AC，EC=DA=82m，∠BDE=30°，∠BAC=60°．

设BE=xm，DE=AC=ym，则BC=(x+82)m，在Rt△BDE中，

联立①、②解得x=41，．

故BC=41+82=123(m)．

答大厦高度BC为123m，大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC为41m．

例3 下表是小亮所填实习报告的部分内容：

请根据小亮测得的数据，填表并计算国贸大厦的高．(已知测倾器的高CE=DF=1m)

解设AG=x，在Rt△AFG中，

∵∠β=45°，

∴FG=AG=x，EG=60+x．

在Rt△AEG中，∠AGE=90°，∠α=30°

解这个方程，得．

经检验，是原方程的根．

∵BG=CE=1．

∴(m)．

答国贸大厦的高为(31+30)m．

例4 测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则山顶P的海拔高度为＿＿m．(取)

答 1116．

[解析] ∵比例尺为1∶50000．

∴山顶P的海拔高度为3·tan30°×50000÷100+250=500+250≈500×1．732+250=1116．

例5 如图，登山队员在山脚A点测得山顶B的仰角∠CAB=45°，当沿倾斜角为30°的斜坡前进100m到达D点后，又在D点测得山顶B的仰角为60°，求山高BC．(精确到1m)(参考数据：，)

解过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．

∵∠BAC=45°，

∠ACB=90°．

∴∠ABC=45°．

又∵∠BDF=60°，

∴∠DBF=30°．

例6 如图，湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m至D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高．(精确到0．01m，)

解由题意，可知∠ACB=60°，∠ADB=30°，又∵∠ACB是△ACD的一个外角，

∴∠DAC=∠ACB－∠ADC=30°，△ACD是等腰三角形．

∴AC=CD=100m．

在Rt△ABC中，AB=AC·sin60°=100·(m)．

答建筑物AB的高约为86．60m．

例7 如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D．用高为1．5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高．(精确到0．1m，已知sin10°≈0．17，cos10°≈0．98，tan10°≈0．18，sin15°≈0．26，cos15≈0．97，tan15°≈0．27)

解如图延长CD交PB于F，则DF⊥PB．

∴DF=BD·sin15°≈50×0．26≈13．0．

∴CE=BF=BD·cos15°≈50×0．97≈48．5．

∴AE=CE·tan10°≈48．5×0．18=8．73．

∴AB=AE+CD+DF=8．73+1．5+13≈23．2(m)．

答树高约为23．2m．

例8 如图，某同学在离铁塔150m的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1．56m，求铁塔BE的高．(精确到0．1m，计算需用时，其值取1．73)

解过点D作DC⊥BE于C，则DC=AB=150m，CB=AD=1．56m．

答铁塔BE的高约为88．1m．

例9 某地有一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为hm，此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1)．小明想为自己的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1．65m，若同时满足下面两个条件，(1)当太阳光与地面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；(2)当太阳光与地面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内，请你借助下面的图形(如图2)，帮助小明算一算，遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少?(精确到0．01m)

以下数据供计算中选用

sin24°36′=0．416，

cos24°36′=0．909，

tan24°36′=0．458，

cot24°36′=2．184，

sin73°30′=0．959，

cos73°30′=0．284，

tan73°30′=3．376

cot73°30′=0．296．

图1

图2

答 BC的长约为0．26m，CD的长约为0．57m．

例10 某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼(如图)，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．

(1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么?

(2)若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少m?(结果保留整数，参考数据：sin32°≈，，tan32°≈5/8

解 (1)如图，设CE=xm，则AF=(20－x)m．．

即20－x=15·tan32°，x≈11．

∵11>6，

∴居民住房的采光有影响

(2)如图，，BF=20×=32．两楼应相距32m．

例11 如图，西宁市风景区有2个景点A、B，为了方便游客，风景管理处决定在相距2km的A、B两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB)，经测量，在A点的北偏东60°方向、B点的西偏北45°方向的C处有一个半径为0．7km的小水潭，问小水潭会不会影响公路的修筑，为什么?(参考数据：≈1．732，)