等边三角形性质
1．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
2．等边三角形每个角的平分线和它对边的中线、对边上的高都重合，它们所在的直线都是正三角形的对称轴．
3．等边三角形三个角都相等．
例1 如图，在正方体ABCD－ABCD中，连接AB、AC、BC，则△ABC的形状是＿＿三角形．
答 等边．
[解析] AB=BC=AC．
例2 如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个命题：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
答 D
[解析] ∵△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，
∴PB=PC，∠APB=∠ABP=∠BAP=∠DCP=∠DPC=∠CDP=60°．
∵∠APD=90°，
∴∠BPC=150°．
∴∠PBC=15°．
∴①正确；
∵∠PAD=∠PDA=45°，
∴∠BAD=∠BAP+∠PAD=105°．
而∠ABC=∠ABP+∠PBC=75°，
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴AD∥BC．
∴②正确；
延长CP交AB于点E，
∵∠CBA+∠PCB=90°，
∴∠CEB=90°．
∴PC⊥AB．
∴③正确；
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形ABCD是轴对称图形，
∴④正确，共有四个命题正确．
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点C关于AB的对称点为C′，则△ACC′为＿＿三角形．
答 等边．
[解析] ∵C、C′关于AB对称，
∴AC=AC′．
又∵AB⊥CC′，
∴∠CAB=∠C′AB=30°．
∴∠CAC′=60°．
∴△ACC′为等边三角形．
例4 下列说法错误是( )．
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．对称轴最多的三角形是等边三角形
C．一个三角形的中线、高、角平分线都相等的三角形是等边三角形
D．一个三角形是轴对称图形，这个三角形必定是等边三角形
答 D．
[解析] 一个三角形是轴对称图形，这个三角形必定是等腰三角形．
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