动能定理

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第208页（2051字）

1．内容：合力所做的功等于物体动能的变化(增量)

2．表达式：W_合=E_k2—E_k1=△E_k．

注意 ①动能定理虽然是在物体受恒力作用，沿直线做匀加速直线运动的情况下推导出来的，但是对于外力是变力或物体做曲线运动，动能定理都成立，要对动能定理适用条件(不论外力是否为恒力，不也论物体是否做直线运动，动能定理都成立)有清楚的认识．

②动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法，功的计算公式W=Fscosα只能求恒力做的功，不能求变力的功，而由于动能定理提供了一个物体的动能变化△E_k与合外力对物体所做功具有等量代换关系，因此已知(或求出)物体的动能变化△E_k，就可以间接求得变力做功．

③应用动能定理解题的优点

动能定理对应的是一个过程，它只涉及到物体初、末状态的动能和整个过程中合外力的功，无需注意其中运动状态变化的细节，且涉及的功和能均为标量无方向性，计算十分方便，因而当遇到不涉及加速度和时间而涉及力、位移、质量、速度、功和动能等物理量大小的力学问题时，优先考虑用动能定理，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解来得简便，甚至还能解决牛顿定律和运动学公式难以解决的问题，动能定理解题优于动力学方法，是解决力学问题的重要方法．

3．应用动能定理解题的一般步骤

(1)确定研究对象，动能定理的研究对象是单个物体(质点)，或者是可以看成单一物体的物体系．

(2)明确要研究哪一段运动过程，以明确物体的初动能和末动能．

(3)分析研究对象的受力情况和各力做功的情况(大小?正负?)，动能定理式中的“W_合”，指合力对物体所做的功，可以先分析受力，求出各力的合力F_合，当F_合恒定时，可以由公式W_合=F_合scosα求出合力的功；也可以先分别求出各力的功，再求出它们的代数和，即为合力的功．

注意 动能定理的表达式是标量式(可以有正负)，而有关的位移或速度均是相对于同一参考系(一般是地面)的量．

(4)根据动能定理列方程求解．

例1 一个质量为m的小球拴在钢绳的一端，另一端用大小为F₁的拉力作用，在水平面上做半径为R₁的匀速圆周运动(如下图所示)．今将力的大小改为F₂，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R₂，小球运动的半径由R₁变为R₂过程中拉力对小球做的功多大?

分析 此题中，绳的拉力作为小球圆周运动的向心力，是变力，求变力做的功应使用动能定理．

解 设半径为R₁、R₂时小球圆周运动的线速度大小分别是v₁、v₂，由向心力公式得

由动能定理有， ③

由①②③式得W=1/2(F₂R₂—F₁R₁)．

例2 质量为M=500t的机车，以恒定功率从静止起动，经时间t=5min，在水平轨道上行驶了s=2．25km，速度达到最大，v_m=15m/s，试求：

(1)机车的功率P；

(2)机车运动过程中所受的平均阻力．

分析 机车以恒定功率起动，由于速度越来越大，由P=Fv可知，牵引力不断减小，机车运动过程中，牵引力和阻力对机车所做的总功等于机车动能的增加．此时，牵引力的功可由求解：W=Pt．

解 (1)运动能定理：

其中，为机车所受平均阻力，当机车速度达到v_m，

将③代入①解得：

即机车功率为3．75×10⁵W．