方差的性质

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第114页（1458字）

(1)D(aξ+b)=a²Dξ；(2)Dξ=Eξ²—(Eξ)²．

例1 已知随机变量ξ的期望Eξ=4，方差Dξ=1，则η=2ξ—5的期望Eη=＿＿，方差Dη=＿＿＿＿．

解 直接利用期望和方差的性质即可．

∵E(aξ—b)=aEξ—b，

．．Eη=E(2ξ—5)=2Eξ—5=2×4—5=3，又∵D(aξ+b)=a²Dξ，

∴D_η=D(2ξ—5)=4Dξ=4×1=4．

例2 设某运动员投篮投中的概率为P=0．6．(1)求一次投篮时投中次数ξ的期望和方差；

(2)求重复5次投篮投中次数η的期望和方差．

解 (1)投篮一次可能投中，或可能不中，投中次数ξ服从两点分布；(2)重复5次投篮的投中次数ξ服从二项分布．

(1)ξ的分布列为：

由期望的定义可得：

Eξ=0×0．4+1×0．6=0．6．

由方差的定义可得：

Dξ=(0—0．6)²×0．4+(1—0．6)²×0．6=0．36×0．4+0．16×0．6=0．144+0．096=0．24．

(2)根据题意知η～B(5，0．6)．

η的分布列为0，1，2，3，4，5)，即0．01024，

0．0768，

0．2304，

0．3456，

0．2592，

，

Eη=0×0．01024+1×00768+2×0．2304+3×0．3456+4×0．2592+5×0．7776=3，

D_n=(0—3)²×0．01024+(1—3)²×0．0768+(2—3)²×0．2304+(3—3)²×0．3456+(4—3)²×0．2592+(5—3)²×0．0776=1．2．

例3 求证：Dξ=Eξ²—(Eξ)²．

证明 Dξ=(x₁—Eξ)²P₁+(x₂— …+x_nP_n+…)+(Eξ)²(P₁+P₂+…+P_n+…)=Eξ²—2(Eξ)²+(Eξ)²=Eξ²—(Eξ)²．

例4 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=，求Dξ．