二项式定理的应用

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第109页（517字）

二项式定理常用于进行近似计算、求组合数的和、求展开式或者一些多项展开式中的指定项、讨论整除问题，有时还用于证明某些不等式等．

1．求展开式的特定项．

例1 求(x+2)¹⁰(x²—1)的展开式中x¹⁰系数．

解 展开式中x¹⁰的项等于(x+2)¹⁰展开式中x⁸的项与x²的乘积与x¹⁰的项与—1乘积的和，即为1)=179x¹⁰，故x¹⁰的系数为179．

2．证明整除问题(或求余数)．

例2 求19¹⁹除以5的余数．

解 19¹⁹=(20—1)¹⁹=—(1—20)¹⁹ ，所以，19¹⁹除以5的余数为4．

【说明】用二项式定理讨论一个式子被k除得的余数时，一般把其主要式子写成(a+bk)ⁿ(a，b∈Z)的形式，即其展开式中除首项外均能被k整除．