采样控制系统的设计和综合

出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《新编液压工程手册上册》第201页（7161字）

采样控制系统中包含了数字控制器及控制对象两部分，所以采样控制系统的设计和综合将包含确定这两部分的结构和参数。通常，图6．2－7的计算机数字控制系统的反馈传感器是比例环节，在经过调整后得到图6．2－10所示的方框图。

图6．2－10 采样控制系统方框图

在采样控制系统中，零阶保持器的传递函数G_h(s)是不变的，在液压系统控制对象的传递函数G_s(s)确定后，通常也不会改变。因此系统的综合与设计任务，主要是在给定系统的性能品质指标下，设计数字控制器D(z)以达到系统的性能指标。计算机控制系统的性能指标，在古典控制理论范围内，仍然可以沿用类似连续系统中的稳定性、稳态误差和动态性能指标。判断系统的性能常用的有两种方法，一种是稳定裕量、误差系数(位置、速度、加速度误差系数)和动态性能指标(谐振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比、超调量)等，另一种方法是系统在单位阶跃、单位速度或单位加速度等典型输入作用下，具有最短的调节时间等。

开始设计系统时，可先将D(z)作为比例环节，按上章采样周期的选择方法，选用适当的采样周期T，并进行稳定性判别，也可按分析系统的瞬态响应或进行系统仿真来检查系统的其他品质。

当系统的稳定性和其他品质不满足设计要求时，便要重新设计D(z)。D(z)的设计方法有两种，一种是模拟化设计方法，就是根据连续系统的理论，设计校正环节，然后用数字化离散化的方法得出D(z)；另一种是离散化设计方法，又称直接设计法，该法是根据系统的性能要求，运用离散系统控制理论，直接进行数字控制器的设计。下面主要介绍模拟化设计方法，它是按连续系统控制理论得出的控制规律进行，先进行离散化得到计算机能实现的控制算式，然后在计算机上实现编程计算。我们将采用比例、积分、微分控制，即PID控制的离散化方法来确定参数及分析参数对性能的影响。同时也介绍用离散化设计方法如何对数字控制器进行直接设计，主要介绍最少拍系统和快速无波纹系统的设计。

(1)PID控制器数字化的设计及实现

在连续控制系统中PID控制器的控制规律为

式中 u(t)，e(t)——分别为控制器的输出、输入信号；

K_p，T_i，T_d——分别为比例系数、积分时间常数和微分时间常数。

对PID控制器进行数字化，相当于对控制器进行采样，采用梯形近似计算，将式(6．2－11)写成近似的差分方程

式中T为采样周期，，K_d=K_pT_d，K_i，K_d

分别为积分系数，微分系数，对上式进行Z变换，得出数字PID控制器的脉冲传递函数

下面通过一个例子来说明如何选择控制器的参数，系统的方框图如图6．2－11所示。

图6．2－11 带数字控制器的计算机控制系统

广义系统的脉冲传递函数为

根据Z变换表，且当T=0．1s时得

这个式子是未经校正的开环脉冲传递函数。

若数字控制器D(z)=K_p，则系统的闭环脉冲传递函数为

当K_p=1，相当于无校正系统的闭环脉冲传递函数

由于闭环脉冲传递函数的特征方程根为z₁=0．84+j0．278，z₂=0．84－j0．278都在z平面的单位圆内，因此该系统是稳定的。

在单位阶跃输入时，输出量的Z变换

由式(6．2－17)及Z变换性质，可求出单位阶跃响应曲线如图6．2－12所示。

图6．2－12 数字PID控制系统的单位阶跃响应曲线

因为系统的开环脉冲传递函数G(z)不符合在Z=1处的极点条件，所以对于单位阶跃输入时系统的稳态输出值可根据Z变换的终值定理求得

当K_p=1，y(∞)=0．835，稳态误差e_ss=0．165

K_p=2，y(∞)=0．910，稳态误差e_ss=0．09

可见，K_p增加，系统的稳态误差将减少，提高了系统的动态响应速度。K_p根据系统的速度静态误差系数K_v的要求来确定

在PID控制中，积分控制用来消除系统的稳态误差，因为只要存在偏差，积分产生的信号总是用来消除稳态误差，直到偏差为零，积分作用才停止。

我们采用PI控制器，令K_d=0，由式(6．2－13)得

式中K_p，K_i是可以自由选择的，在设计PI控制器时，使积分校正作用增加的零点与广义系统的一个极点相抵消，即令

令T=0．1s，则

若K_p由静态速度误差系数确定，选定K_p=1，则由式(6．2－21)可以确定K_i=0．997，于是将K_p=1，K_i=0．997代入式(6．2－19)后，可得控制器的脉冲传递函数D(z)为

带调节器的系统开环脉冲传递函数

由于开环脉冲传递函数具有一个在z=1的极点，所以闭环系统对于阶跃输入的稳态误差为零。图6．2－12上也给出了具有控制器的系统的阶跃输出响应曲线。系统用数字积分校正消除了稳态误差，但从输出响应曲线看出系统的超调量达到45%，且调节时间也加长了。为了缩小超调量，可以改变K_p，K_i。用上面同样的方法得到K_p=0．5，Ki=0．498及K_p=0．25，K_i=0．249两组数据后所绘制的阶跃输入响应曲线也在图6．2－12上。

为了改善动态性能，还必须加入微分校正，即采用PID控制。微分控制的作用与偏差的变化率有关，它能预测偏差，产生超前的校正作用。

采用PID控制，这时PID数字控制器的脉冲传递函数

带PID控制器的系统的开环脉冲传递函数为

式(6．2－25)中的K_p，K_i，K_d三个参数值需要根据附加的设计条件来确定。

由于静态速度误差系数K_v确定涉及控制器两个零点与广义系统在z₁=0．905及z₂=0．819两个极点相抵消的情况，可以使我们得出三个独立的线性方程，因而可以求出调节器中的三个参数。如当T=0．1s时，要求的静态速度误差系数K_v=5，因为

静态速度误差系数K_v为

可见K_v与K_p，K_d无关。由K_v=5，得K_i=1

根据两个零点和两个极点抵消的条件，得到

由式(6．2－28)，解得

令K_i=1，T=0．1s得

代入式(6．2－29)得K_i=0．43，K_p=1．45。

将K_p，K_i，K_d，T代入式(6．2－24)得

闭环脉冲传递函数

方程的特征根为

z₁=0．369+j0．319，z₂=0．369－j0．319

系统的阶跃响应曲线见图6．2－12。

系统在单位阶跃输入时，输出量的稳态值为

稳态误差e_ss=0，在PID控制作用下，积分作用使阶跃输入的稳态误差为零。微分控制作用改善了动态特性和降低了调节时间，也减小了超调量。

以上所讲的是属于PID控制算法中称为位置式算法的一种算法，其他还有速度式算法、增量式算法。有关这两种算法详情可参看其他有关书籍。

(2)离散化设计数字式控制器

在图6．2－10的系统中，系统的闭环脉冲传递函数

数字控制器的脉冲传递函数

若已知G(z)，并根据性能指标要求定出Φ(z)，数字控制器D(z)就可确定，设计数字控制器D(z)的步骤如下：

·根据控制系统的性能指标要求及其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数Φ(z)；

·根据式(6．2－34)确定数字控制器脉冲函数D(z)；

·根据D(z)，编制控制算法的程序。

在这种设计过程中，确定所需的闭环脉冲传递函数Φ(z)是最关键的，下面结合具体系统来说明这种方法的设计过程。

A．最少拍系统设计

最少拍设计是系统在典型输入作用下对数字控制器的设计，使系统的调节时间最短或者系统在有限个采样周期内结束过渡过程。

系统的误差脉冲传递函数

系统的误差

E(z)=X(z)Φ_e(z)=X(z)［1－Φ(z)］

(6．2－36)

根据最小拍系统的设计准则，要求系统在某种典型输入作用下，经过最少的采样周期，稳态误差为零。

根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差为

将E(z)写成幂级数形式

E(z)=e(0)+e(T)z^－1+e(2T)z^－2+…+e(kT)z^－k(6．2－38)

要使误差尽快为零，就要求式(6．2－38)中的项数尽量少，要使E(z)项数尽量少，对式(6．2－36)而言，就要求X(z)［1－Φ(z)］展开式的项数尽量少。对不同输入函数X(z)这样才能满足上述要求的Φ(z)。

单位阶跃输入时x(t)=1［t］，，

为满足e［∞］=0的要求则X(z)的分母项应与1－Φ(z)相抵消，则得Φ(z)=z^－1，Φ_e(z)=1－z^－1。

单位速度输入函数

单位加速度输入函数

在式(6．2－39)中v=1，2，3对应着阶跃，速度，加速度三种输入。

对于一个给定G_s(s)特性的系统，当采样周期T和保持器选定以后，求得广义系统脉冲传递函数G(z)，再根据最少拍设计原理，结合典型输入函数求得系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)，就可以按D(z)的计算式求出数字控制器D(z)。

根据上述方法设计系统的适应性较差，因为针对一种典型输入作用下得到系统闭环脉冲传递函数Φ(z)，只适应于一种特定的输入而不能适用其他输入。

在上面设计中，确定闭环脉冲传递函数Φ(z)的最少拍条件只适应于G(z)在单位圆外无零、极点以及无纯延迟环节z－1的情况，如果不满足上述条件，需要对设计作相应的限制。

通常G(z)和D(z)成对出现在Φ(z)中，一般可以用D(z)的零点对消G(z)的极点，但当G(z)单位圆外有极点时，采用这种零、极点对消方法会导致系统不稳定。

Φ(z)设计时遵循下述原则：

·Φ(z)的零点必须包含G(z)在单位圆上和圆外的全部零点；

·Φ(z)应有z^－1的因子，且方次与G(z)中分子的z^－1因子的方次相等；

·1－Φ(z)应该把G(z)在单位圆外和圆上的全部极点作为自己的零点。

采用最少拍设计的系统只在采样点上保证稳态误差为零，而在采样点之间的输出响应是有波动的，即存在纹波。

B．无纹波最少拍系统设计

最少拍无纹波系统就是要求系统在输入作用下，经过尽可能少的采样周期之后系统达到稳定，并且采样点之间没有纹波。

最少拍系统采样点之间存在纹波的问题是由于数字控制器D(z)的输出不是在有限采样周期内结束动态过渡过程，若能使它在有限拍数内结束，纹波也就自然消除了。无纹波最少拍系统不仅要求系统的输出Y(z)与输入函数X(z)之间闭环脉冲传递函数Φ(z)是z^－1的有限项多项式，而且要求数字控制器输出U(z)与输入函数X(z)之间的脉冲传递函数是z^－1的有限项多项式。因为

只要Φ(z)包含G(z)的全部零点，即可使为z^－1的有限项，对于无纹波最少拍系统设计的附加条件是：系统闭环脉冲函数Φ(z)应包括广义系统传递函数G(z)的全部零点。

下面举一例说明。图6．2－13所示系统中G_h(s)是零阶保持器，，当输入为阶跃函数时，要求按无纹波最少拍系统设计数字控制器D(z)。

图6．2－13 采样控制系统

T=1时

G(z)有一个零点，z=0．718有一个z^－1因子，在单位圆上有一个z=1的极点。按最少拍设计原则及附加条件得

最少拍无纹波设计具有实用价值，动态响应无超调，调节时间也最快。