二阶系统频率特性与过渡过程的关系
出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《新编液压工程手册上册》第153页（2523字）
(1)闭环幅频特性与过渡过程的关系
A．闭环频域指标
若系统闭环频率特性为
闭环幅频特性为
当0＜ζ＜1时，M(ω)曲线的一般形状示于图5．5－11。对照图5．5－11给出表示M(ω)形状的特征参数如下：
图5．5－11 二阶系统的闭环幅频特性
·闭环幅频特性峰值Mp：它是闭环系统幅频特性的最大值。
·峰值频率ωp：是闭环系统幅频特性出现峰值时的频率值。
·带宽和带宽频率：若ω从零增加到ω0时，M(ω0)下降为M(0)的倍，即
则零至ω0的频率范围称为系统的带宽(或称通频带)，ω0称带宽频率。
Mp，ωp，ω0表示了闭环系统幅频特性的主要特征，它们和过渡过程关系最密切，通常把这三个参数称为过渡过程的闭环频域指标。
B．Mp，ωp，ω0与ζ、ωn之间的关系
C．时域指标与频域指标的关系
对式(5．5－10)和表5．4－3给出的超调量表示式分别给以不同的ζ值，则得一组Mp和σp，列于表5．5－3。
表5．5－3 二阶系统ζ，Mp，σp的对应值
根据表5．5－3中的数据，画出σp随Mp变化的关系曲线示于图5．5－12。曲线表明：Mp增大，σp也随之增大。如果给定Mp，可根据曲线查出σp的数值，例如Mp=1．36，对应σp=25．3%。
图5．5－12 σp与Mp之间的关系曲线
对于式(5．5－9)和式(5．5－11)分别给以不同的ζ值，计算ωp／ωn和ω0／ωn的数值，列于表5．5－4。
表5．5－4 二阶系统ζ和ωp／ωn，ω0／ωn的对应值
根据表5．5－4的数据，画出ωp／ωn，ω0／ωn随ζ变化的曲线示于图5．5－13。
图5．5－13 ωp／ωn，ω0／ωn与ζ的关系曲线
从图5．5－13可以看出：
·当ζ比较小时，如ζ＜0．4，可视为ωp／ωn≈1，即ωp≈ωn。
·当ζ=0．707时，ω0／ωn=1，即ω0=ωn；在ζ=0．707附近，如0．5≤ζ≤0．8区间，可视为ω0≈ωn。
由上面特点可知，在计算时域指标tr和ts时，在ζ＜0．4范围内，可用频域的ωp近似代替时域的ωn；在0．5≤ζ≤0．8范围内，可用频域的ω0近似代替时域的ωn。一般希望闭环系统工作在ζ=0．707附近，所以用ω0代替ωn比用ωp代替ωn更准确些。
(2)开环频率特性与过渡过程的关系
A．开环频域指标
在分析闭环系统动态特性时，常用开环频率特性的两个特征量，即截止频率ωc和相角裕量γ来表征系统的过渡过程特征，并称其为开环频域指标。
B．γ，ωc与ζ，ωn的关系
C．过渡过程时域指标和开环频域指标的关系
σp与γ之间的关系 根据式(5．5－12)和表5．4－3中σp的表达式计算出不同ζ值的γ和σp，计算结果列于表5．5－5。
表5．5－5 γ，σp与ζ的对应值
根据表5．5－5给出以ζ为参变量σp随γ的变化曲线示于图5．5－14。如果知道系统的相角裕量γ，可从图5．5－14所示曲线查出相应的σp值。例如，γ=44°，可查得σp=25．4%。
ts与ωc的关系 典型二阶系统的调节时间(△=±5%)为
将式(5．5－13)代入上式，得
(5．5－14)
由式(5．5－12)和式(5．5－14)可得
(5．5－15)
图5．5－15给出了tsωc与γ的关系曲线。如果系统的相角裕量γ，即σp已经给定，则ts与ωc成反比。ωc越大，系统的调节时间越短。
图5．5－14 σp－γ关系曲线
图5．5－15 二阶系统的tsωc－γ曲线