微分方程

出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《新编液压工程手册上册》第134页（2081字）

(1)线性化

自动控制元件与系统的运动方程常常是非线性的，而用非线性微分方程研究系统的运动规律是很困难的，故尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。对于非线性函数的线性化方法有两种：一种方法是忽略那些比较次要的非线性因素，如小的死区、磁滞和干摩擦等；另一种是小偏差线性化法。

小偏差线性化法是将一个非线性函数y=f(x)，在其工作点(x₀，y₀)展开成台劳级数，然后忽略二次以上的高阶项，就可得到代替原来非线性函数的线性化增量方程。

(A)对具有一个自变量的非线性函数f(x)的小偏差线性化增量方程为

(B)对多变量的非线性函数y=f(x₁，x₂，…，x_n)的小偏差线性化增量方程为

对小偏差线性化的几点说明：

·应用小偏差线性化时，必须注明稳态工作点的参数值，因为工作点不同，得出的线性微分方程的系数也不同。

·应用小偏差线性化得到的线性微分方程是增量方程式，但为了书写简洁，一般习惯上增量符号不写出来。为研究方便，系统工作点都视为坐标原点。

·小偏差线性化的条件：第一，非线性函数中各变量在系统的动态过程中偏离稳态工作点的偏差要很小(为微小增量)；第二，非线性函数在稳态工作点处满足台劳级数展开条件，即非线性函数对各个变量的各阶导数(或偏导数)均存在。

(2)微分方程列写举例

例 图5．3－1所示为一滑阀控制液压缸原理图，其输入量为滑阀芯位移x_v，输出量为液压缸活塞位移y，试求y对x_v的线性化微分方程。

图5．3－1 滑阀控制液压缸原理图

［解］ 根据流体力学的节流公式可推得

式中 q_l——工作流量(或称负载流量)；

C_d——流量系数；

w——滑阀的面积梯度；

x_v——阀芯位移；

ρ——油液密度；

p_s——工作压力；

p_i——负载压力。

由上式可知，因C_d、w、ρ、p_s为常数，故q_l是一个取决于x_v和p_i的双变量非线性函数，因此，它又可写成

ql=f(x_v，p_l)(5．3－4)

根据式(5．3－2)可得工作流量q_i的线性化增量方程

式(5．3-5)可写为

式中

如果以q_m表示使活塞移动的流量，以q_i表示泄漏流量，以q_v表示体积压缩流量，根据液流连续性原理则有

q_l=q_m+q_t+q_v

并有 △q_i=△q_m+△q_t+△q_v(5．3－7)

而q_m、q_i、q_v及其相应的增量分别为

式中 A——油缸工作面积；

C_t——油缸总泄漏系数；

V_t——滑阀出口至液压缸活塞两腔的总容积；

β_e——油的弹性模量。

液压缸的力平衡方程为

式中 M——活塞及负载的质量；

B——粘性阻尼系数。

将式(5．3－7)～式(5．3－11)联立，消去中间变量，得活塞位移y对滑阀位移x_v的线性化微分方程

当活塞及负载质量M小得可以忽略不计时，则上式可简化成