动量方程

出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《新编液压工程手册上册》第7页（1773字）

动量方程是动量定律在流体流动中一种数学表达式，用动量方程求解问题时，不用顾及流体流动的详细过程，用它来求解流场中固体壁面受力等问题尤为方便。当流场类型为不可压缩流体定常管流时，对于控制体固定不动的动量方程，其表达式如下：

·矢量式

F_m+F_A=∫_AρuudA=ρq(β₂v₂－β₁v₁)

·直角坐标系标量式

F_mx+F_Ac=ρq(β₂v_2x－β₁v_1x)

F_my+F_Ay=ρq(β₂v_2v－β₁v_1y)

F_mz+F_Az=ρq(β₂v_2z－β₁v_1z)

式中 Fm——质量力；

F_A——表面力；

q——通过管流的流量；

β₁，β₂——相应动量修正系数，对于圆管层流，β₁=β₂=4／3，对于圆管紊流，β₁=β₂≈1，v为管流的平均流速。

下面举例说明动量方程在液压阀中的应用

(1)稳态液动力

现以图1．1－6所示的四通滑阀为例，当阀芯开度稳定不变时，并不计漏损，因此流出或流入滑阀的流量相等，流经两节流口的平均流速也相等，现取1、2两腔油液的外轮廓为控制体，列出这两个控制体沿滑阀轴向的动量方程，可求出阀芯作用于两控制体内油液上的作用力R_r，设β₁=β₂=1时，得

图1．1－6 四通滑阀上的液动力

R_r=R_1r+R_2r

=2ρqvcosβ

而油液因动量变化作用在阀芯上的轴向力F_s与R_r大小相等方向相反。

F_s=－R_x=－2ρqvcosβ

F_x称为稳态液动力，不论1腔(液体自节流口流出)，还是2腔(液体自节流口流入)，它们所产生的液动力的方向始终使阀的开口趋于关闭，而与流动方向无关，故F_s又称为关闭力。当q，v愈大，射流倾斜角β愈小，则稳态液动力愈大。在阀的设计中是不希望产生这种力的，它不但影响阀的操纵力，而且是造成阀的不稳定的原因之一，为此已研究多种消除液动力的办法，如消除动量的回流型阀腔和小孔群节流法等。

(2)瞬态液动力

它是因为阀的开口发生变化时，阀腔内的油液被加速或减速，产生一作用在阀芯上的轴向液动力，它与阀腔内油液的速度变化率有关，与阀口开度本身无关，它是因流场的非定常性而引起的。

如图1．1－6所示的情况，假设阀芯在外力作用下向左移动时，两个阀口开度都关小，因此1腔内有效流程长度为L_t1的那部分油液将被减速，于是阀芯上将受到一个与油液速度变化率(即减速度)方向相反的轴向作用力F_t1。设通过阀口的流量为q，阀腔内油液平均流速为v，阀腔的截面积为A。因此1腔的瞬态液动力为

式中 W——节流口周边宽度；

△p——节流口前后压力差；

C_d——流量系数。

与此同时，2腔内有效流程长度为L_t2的那部分油液也将被减速，阀芯上又受到一个与油液加速度方向相同的轴向作用力F_t2，即

而阀芯上瞬态液动力的作用方向，随流动方向不同而异，具体分析见表1．1－4。

表1．1－4 瞬态液动力的方向与效应