线性规划决策案例

出处：按学科分类—经济 南京大学出版社《新编经济师实用手册工业企业分册》第159页（1521字）

运用方法篇(七)的线性规划方法，可对多种问题进行经营决策。本案例系生产计划和组织问题的决策。生产计划的决策是解决在现有条件下，如何安排各种产品的产量，求得最佳的产品组合，以获得最大利润的问题；生产组合的决策是根据在线性规划的优化过程中所发现的薄弱环节，采取相应措施，使潜力更充分发挥，以获得更大利润的问题。

〔例〕某企业生产的一种电子仪器有三个品种，生产过程的四道工序的现有工人数及所耗工时等数据如下表所示，试用线性规划进行决策。

解题步骤如下：

首先，根据工时利用率(95%)，算出各工序的全年工时总数h_j，即，h₁=10人×183时／月。人×12月／年=2．2万时／年，同理得h₂=4．4万时／年，h₃=11万时／年，h₄=0．66万时／年。这就是工时约束条件。

接下来，设在最大效益P_max时，三个品种的最佳产量分别为X₁、X₂和X₃。则根据已知数据可建立目标函数模型为：

MaxP=1200x₁+1500x₂+1800x₃

此时应满足下列约束条件，即

最后，将上面模型及数据输入计算机运算，可得各品种产量指标分别为x₁=10，x₂=12，x₃=2206。此时的P_max=400万元。

如果用手工运算，需用单纯型的大M法(两阶段法)，先将原线性规划模型变成标准型，然后在运算表中通过三次迭代，亦可得到相同的产量数值。再将各品种产量代入目标函数式求得P_max值。变换成标准型后的线性规划式如下(运算过程略)：

目标函数为

MoxP=1200x₁+1500x₂+1800x₃+0·x₄+0·x₅+0·x₈+0·x₇+0·x₈+0·x₉－Mx₁₀－Mx₁₁

满足的约束条件为

式中的x₄～x₁₁就是为了使各方程变成等式而附加的变量，通常可以理解为未被利用、尚未转化为价值的那部分资源，在目标函数中，它们的系数为0，所以不会影响决策值。

最后，分析线性规划的结果发现，它是在现行生产组织下的较优方案，而并不是最优方案。因为除工序Ⅰ外，其他工序尚余有工时没充分利用，说明需调整劳动组织。因此适当增加该生产线工人数，再用线性规划分析运算后证明，仅在前两道工序各增加2名工人就可使畅销的C型机增产，获得的P_max增加到480万元。即工人总数只增加4．8%，而利润却能上升20%。可见线性规划的效益是很显着的。

本例的分析的人工约束条件，还可分析材料消耗的约束。例如一家化工厂的两个品种生产中，原材料通过七道工序变化，则以每道工序的材料消耗定额和生产能力为约束条件，用线性规划求得两个品种在最大利润时的产量计划指标，使年利润从130万元上升到191万元。后又根据在分析中发现的薄弱环节，对两道工序进行技术改造，以扩大它们的生产能力，使产品增产880吨，利润又上升到300万元。