部分逻辑

处理无真值命题和无所指单称词项的逻辑。这种逻辑强调构造复合命题或单称词项的算子而不强调所用的命题或单称词项。在较弱意义下的部分逻辑只要求能接受因基本词项和谓词的特殊含义而产生的真值空白，而在强意义下的部分逻辑则应当有依据逻辑词项(即，在逻辑中具有固定含义的词项)来说明既不真又不假命题的出现的手段。需要寻找一些逻辑复合方式，使得它们的解释能产生真值空白，而且即使用同样的非逻辑词项构造起来的任何古典命题必定非真即假，它们也仍然能产生真值空白。处理真值空白和无所指单称词项的部分逻辑方法是在20世纪60～70年代出现的，至今仍处于探索发展之中。

部分逻辑关于命题联结词的解释基本上采用古典命题逻辑的真值条件，但是放弃每一命题不真则假的假定，把第三类不真不假的命题看成“真值空白”的命题。因此，关于原子命题的真值指派可以是部分的，也就是说可以确定有些原子命题无真值。如果用*表示“不真不假”，那么相对于真和假的部分真值指派也就可用相对于*、真和假的完全真值指派来替代。除了保留古典命题逻辑原有的命题联结词乛、∨、∧、→、和命题常项、⊥外，在部分逻辑中还可引进一些新的联结词，例如下面的和／。这些命题联结词的解释可列表如下：

为方便起见，把命题常项与它们的解释相混，表示“真”，⊥表示“假”。

在集合｛，⊥，*｝上定义一个简单的次序关系≤如下：x≤yiffx=y或者x=*。称从积集合｛，⊥，*｝到集合｛，⊥，*｝内的映射f为单调的，仅当这映射相对于各个自变元都是单调的，即，如果对一切i，1≤i≤n，x≤y，那么f(x，…，x)≤f(y，…，y)。全体单调映射对于映射的复合运算是封闭的。如果把这些单调映射所表示的联结词称为单调联结词，那么前面列表确定的联结词就都是单调联结词。因此，关于命题的部分逻辑可以看成有关单调联结词的三值逻辑。联结词乛、∨、∧、和命题常项、⊥一起形成全体单调联结词的功能完全组，也就是说，任一个单调联结词都可用它们来表示。例如，*可表示为⊥，而A／B可表示为(A→B)(A∧B)。

类似地，给定一个个体域D，另取一个对象，然后在集合DU｛｝上定义一个次序关系≤：x≤yiffx=y或者x=。确定这一次序关系后，可以仿照前面来定义从积集(DU｛｝)到DU｛｝内的单调映射以及从(DU｛｝)到｛，⊥，*｝内的单调映射，正如联结词可用｛，⊥，*｝上的单词映射来表示那样，从D到D内的部分映射可用(DU｛｝)到DU｛｝内的单调映射来表示，而D上的n元部分关系则可用(DU｛｝)到｛，⊥，*｝内的单调映射来表示。从DU｛｝到｛，⊥，*｝内的单调映射，也就表示D的“部分”子集。

可以比较精确地叙述部分逻辑的语义如下。一个语言L由逻辑词项和非逻辑词项两部分组成。逻辑词项部分包括联结词乛、∧、∨、、、⊥，个体常项，等词=，量词和，以及可数无穷多个个体变项。非逻辑词项则由一些谓词等号、函项符号或常项符号组成。因此，在一个一阶语言中附加联结词和个体常项，我们就得到部分逻辑的一个语言。语言L的一个模型就是由下列①～④组成的一个结构M：

①一个集合D(不一定要是非空的)；

②对于L的任一个n元谓词符号P，有一个单调映射P∶(DU｛｝)→｛，⊥，*｝；

③对于L的任一个n元函项符号f有一个单调映射f∶(DMU｛｝)→DU｛｝；

④对于L的任一个个体常项符号C，有集合DU｛｝中的一个元素C。

一个个体指派就是从全体个体变项到DU｛｝的一个映射。语言L中的项和公式可以按通常方式来定义。一个项t在一个个体指派s下的解释M(t)如下而得：

对任一个个体变项x，

一个公式A在个体指派s下的真值M(A)如下递归而得：

这里，s(x／a)是这样的一个个体指派：除了对x指派a外其它都跟s相同。当s是对一切个体变项都指定的指派时，我们可以用M(A)来表示M(A)。已经证明，M(A)= iff对任一个体指派s有M(A)=，M(A)=⊥ iff对任一个体指派s有M(A)=⊥。给定语言L的一个模型M以及一个个体指派，并给定L的两个公式集Γ及Δ，称(M，s)拒绝〈Γ，Δ〉，当且仅当下面的⑤或⑥成立：

⑤对任一个A∈Γ有M(A)=，但对任一个B∈Δ有M(B)≠；

⑥对任一个A∈Γ有M(A)≠⊥，但对任一个B∈Δ有M(B)=⊥。

如果有一个个体指派s，使得(M，s)拒绝〈Γ，Δ〉，则称M拒绝〈Γ，Δ〉，或者称M为〈Γ，Δ〉的反模型。如果L的任一个模型都不拒绝〈Γ，Δ〉，则称〈Γ，Δ〉为一个逻辑后承，记成ΓΔ。

可用序贯来描述逻辑定律。它们实际上是由有穷公式集组成的序对，但是将被记成ΓΔ而不是〈Γ，Δ〉。部分逻辑的序贯演算由下列序贯公理和序贯规则组成：

Γ，Δ的所有公式中的x都是可代入的。

(x不在Γ，Δ的公式中自由出现)

这里‘ΓΔ’是‘Γ，A乛A，Δ’的缩写。

这个序贯演算相对于前面给出的语义是相容的和完全的。

建构部分逻辑的动机来自于各个方面，因而应用也会很广泛，但这一切还都有待研究。