大基数

若干特殊的基数，如弱不可达基数，强不可达基数都是大基数(见基数、阿列夫、不可达性)，除此之外，著名的大基数还有Mahlo基数、可测基数、紧致基数和弱紧致基数。大基数都是在通常集合论公理系统中不可刻划的(见强无穷公理)。

马洛(Mahlo)基数 令κ是一不可达基数，并且如果在κ之下的所有正则基数组成的集合是一稳定集合，则称κ为一Mahlo基数。

这里需要说明稳定集合的概念。为此，我们令κ是一不可数的正则基数，假定集合Ck，当C满足下述两个条件时，就称C为一非限定的闭集合：(1)对于每一长度为r(其中r＜k)的C元素的序列：α＜α＜…＜α＜……(ξ＜r)都有

(2)对于每一α＜k，存在一β，α＜β且β∈C。有时对于满足(1)的C称为闭的，满足(2)的C称为非限定的。

令κ为一不可数的正则基数，κ的一子集合S叫做在k中是稳定的，如果对于κ的每个非限定的闭集合C，都有S∩C≠。基于弱不可达基数，我们还可以类似地定义弱Mahlo基数的概念。

可测基数 令κ是一不可数的基数，如果在κ中存在一κ完备的非主的超滤子U，则称基数k是一可测基数。

这里需要说明κ完备的非主的超滤U的概念。一非空集合S上的滤子F是满足下述条件的S之子集合的类：

(1)S∈F

(2)若x∈F且y∈F，则x∩y∈F

(3)若yS，xy，X∈F，则y∈F．

一非空集合S上的一滤子F称为一超滤，如果F还满足条件：

(4)对于任一xS，都有x∈F或S一x∈F．

令x是S的一非空子集合，滤子F

就称F为一主滤子，S上的滤子F不是一主滤子时就称F为一非主滤子，相应地，我们有非主的超滤的概念。

κ完备的滤子 令k是一不可数的正则基数，F是S上的一滤子，如果｛x｜α＜r｝是S的子集合的簇，r＜κ，且对于每一α＜r，x∈F，都有∩｛x｜α＜r｝∈F，则称F是κ完备的。

可以证明，每一可测基数都是不可达的。

紧致基数(或称强紧致基数) 一不可数的正则基数叫做紧致基数(或强紧致基数)。如果对于任一集合S，S上的每一k完备的滤子都能延拓到S上的一κ完备的超滤。不难证明，每一紧致基数都是一可测基数，但不是每一可测基数必定是紧致的。

弱紧致基数 一基数k是弱紧致，若它为不可数的并且满足划分性质κ→(κ)时，就称K为弱紧致的基数。这里我们需对划分性质k→(κ)作一说明。一般地说，令κ是一无穷基数，n为一自然数，m是一基数(可以是有穷的也可以是无穷的)，α是大于0的一极限序数．令

这时，k→就意味着对于每一划分F，F：［κ］→m存在着序型为α的集合Hk使得F在［H］上为一常函数。当m=2时，我们把k→记作κ→(α)”。取α为κ，n为2，于是有k→(κ)。

可以证明，每一弱紧致基数都是一不可达基数。