超积

由已知模型构造新模型的一个重要方法。超积思想起源于T．司寇伦，到20世纪50年代由J．沃希的系统奠基工作而开始在模型论及其它数学分支中起了重要作用．

超积的定义如下．设I为一非空集合，D为I上的一个超滤子．(i∈I)为语言L的模型族．令C=｛f｜f为I上的函数并且对每一i∈I有f(i)∈A｝为诸A的卡氏积(A为的论域，i∈I)，记作C=A．在C上定义一个二元关系～，对任何f，g∈C，f～g当且仅当｛i∈I∶f(i)=g(i)｝∈D．由超滤子的性质易知，“～”为C上的一等价关系，可以用它将C中的元素分为等价类(参看等价关系)，令A为这些等价类所组成的集合．可以证明，能以A为论域定义L的一个模型．称为模型族(i∈I)的以D为模的超积，记作．特别地，如果所有都等于，那么称超积为的超幂．

超积的主要特性是：它能保持“几乎所有”所共有的一阶性质，它被称为超积基本定理．在模型论中，超积常常能代替重要的紧致性定理而起到类似的作用．另外，利用超幂可以沟通模型的初等等价和同构这两个基本概念．语言L的两个模型、初等等价的充分必要条件是它们具有同构的超幂．在公理集合论中，超积与大基数研究有密切联系．