二元道义逻辑

相对道义逻辑的一种。通过引入二元道义算子O和P以及相应的公理和规则对经典命题逻辑进行扩充而得到的系统。1954年，A．N．普赖尔发现承诺悖论；1963年，R．M．齐硕姆发现反义务命令的二难。作为这些发现的回应，冯·赖特先后于1956年、1964年、1965年提出大胆建议：道义概念应该条件化。他用“P(A／B)”表示“在B条件下允许A”，称之为“条件性允许”，并由此定义了条件性义务、条件性禁止等概念；还引入了反映条件性允许的特性的公理和推理规则，构成了二元道义逻辑系统。尽管他的系统并没有真正克服承诺悖论，本身存在不少问题，但是他的研究却开辟了相对道义逻辑的新方向。相对道义逻辑已有二元、三元甚至四元等形式，但发展得比较充分和成熟的是二元道义逻辑。真势道义逻辑也有其二元形式。

二元道义逻辑系统及其语义 考虑斯米莱－汉森型一元系统的道义语言及其合式公式集∑。现在我们把O和P看作二元道义联结词，表达条件性义务和允许，并引入记法Oα和Pα，分别表示“在β条件下应该α”、“在β条件下允许α”。我们于是得到一新的道义语言及其合式公式集，是满足下列条件的极小集S：

①每一命题变项在S中。

②常项和常项⊥在S中。

③若α在S中，则α也在S中。

④若α∈S，β∈S，则α∨β，α∧β，α→β，αβ∈S。

⑤若α，β∈S，则Oα∈S，Pα∈S。

一元道义词O和P的二元定义：

二元系统OS4和OS5的构造如下：

R1 分离规则：从α和α→β推出β

R2 O必然化规则：从α推出Oα

公理模式：

(a0) 上的所有真值函项重言式

R1，R2(a3在其中可导出)

QS4和QS5的语义的核心概念依然是模型μ，μ=(W，R，V〉，其中W是可能世界的非空集，V是一个赋值，R是从语句集到W上的二元关系集的函项，用符号表示，R：→(W×W)。换句话说，对于中的每一语句β，RW×W使得R是W上的二元关系。相应于a3，a4，a5，R必须满足下列新的限定：

OS4模型中的R满足(1)、(2)，DS5模型中的R则满足(1)、(2)、(3)。利用这些模型，可以定义OS4或OS5中公式的真值条件，例如含二元道义联结词的公式的真值条件可定义如下：

Oα当且仅当w∈W(wRwα)

Pα当且仅当ω∈W(wRw并且α)

有效性、可满足性、可靠性、完全性等概念可参照通常的方式给出。已经证明，OS4和OS5对于相应的模型类是可靠并且完全的。

真势二元道义逻辑系统及其语义 考虑斯米莱－汉森型真势道义系统的语言及其公式集∑，其中Q被看作是命题常项即零元联结词。现在我们把Q看成是一元联结词，使得Qa可读作“optimally α”(令人满意地α)、“ideally α’’(合乎理想地α)。于是得到一新的含一元联结词Q的真势模态语言及其公式集∑，∑是满足下列条件的极小集S：

①每一命题变项在S中。

②常项∈S，并且常项⊥∈S。

③若α∈S，则α，□α、◇α、Qα∈S。

④若α，β∈S，则α∨β，α∧β，α→β，αβ∈S。

二元道义联结词的“真势”模态定义：

真势二元道义系统S4和S5构造如下：

R1 分离规则：从α和α→β推出β

R2 必然化规则：从α推出□α

公理模式：

(b0)∑1上的所有真值函项重言式

S4Q=b0-b2，b3，b4，R1，R2

S5Q=b0-b2，b4，b5，R1，R2

S4Q，S5Q的模型与真势道义逻辑S4、S5的模型类似，μ=(W，，opt，V〉，其中W，，V即S4、S5模型中的W，，V，而opt则是对∑中的每一语句β指派W中的子集opt(β)作为其值的函项，原命题常项Q的真值条件由下述定义代替：

Qβ当且仅当w∈opt(β)

重要语义概念的定义按通常方式给出。