弗协调逻辑

又译超协调逻辑、次协调逻辑。非古典逻辑的一个分支，是关于弗协调理论的逻辑。笼统地讲，称一种逻辑为弗协调的，仅当它包含与古典逻辑不相容的定理集，或者它能用作那些包含有与古典逻辑不相容的定理集的理论的逻辑。这里所谓的“与古典逻辑不相容”是指：把那些定理集附加进古典逻辑将产生矛盾。称一理论τ为不协调的，仅当它至少有一个定理A使其否定A也是τ的定理；否则，称之为协调的。令S表示理论τ的语言中的全部语句。当S中的语句都是τ的定理时，称τ为不足道的(或平庸的)；否则，称τ为足道的(或不平庸的)。足道的不协调理论被称为弗协调理论。弗协调逻辑是能用作弗协调理论的逻辑基础的那种逻辑。如果一逻辑中包含有从相互否定的两公式推出一切公式的规则，那么以此逻辑为基础的不协调理论一定是不足道的。因此，通常以古典逻辑为基础的理论，如果它是不协调的，那它也就一定是不足道的。这一现象表明，古典逻辑虽可用于研究协调的理论，但不适用于研究弗协调理论。一般说来，弗协调理论就是包含有与古典逻辑不相容的定理集的理论，这样的理论必须以弗协调逻辑系统作为它的逻辑基础。弗协调逻辑系统总要设法限制矛盾律的作用范围。稍加修饰就可以说，如果矛盾律的效力在某个逻辑系统中受到限制，那么这个系统属于弗协调逻辑一类。

弗协调逻辑思想的渊源可追溯至古希腊，亚里士多德曾设想过可能有矛盾律不普遍有效的逻辑，也就是说他对弗协调逻辑有某种直觉。除了亚里士多德，弗协调逻辑的两位真正的先驱者是J．卢卡西维奇(1878～1956)和N．A．瓦西里耶夫(1880～1940)。在1910年和1911年期间，他俩相互独立地认为，类似于非欧几何，亚里士多德逻辑基本定律的修正将产生非亚氏逻辑。而且，他俩都建议取消矛盾律。S．雅斯科夫斯基(1906～1965)听从卢卡西维奇的建议，于1948年发表了第一个弗协调命题演算系统，他称之为论谈逻辑(dis cussive／discoursive logic)。实际创立弗协调逻辑分支的是巴西的N．C．A．达·科斯塔(1929～ )。他从1958年起就开始独立发展弗协调逻辑思想，构造了一系列弗协调逻辑系统；不仅有命题层次上的，而且还有谓词层次上的(包括带等词的和带摹状词的)，以及对集合论的某些应用。从1964年以来，科斯塔的系统得到了较多作者的研究和推广，成了研究最多的弗协调逻辑系统。科斯塔及其合作者还研究了其它一些弗协调逻辑系统，其中有一些跟相干逻辑有直接联系。近年来，有不同国家的许多学者投入了弗协调逻辑的发展工作。

科斯塔及其合作者创立的弗协调命题逻辑系统C，1≤n≤ω，满足下列条件：

①矛盾律(A∧A)不普遍有效；

②从相互矛盾的两前提不推出一切；

③包含古典逻辑中与前两个条件不冲突的、最重要的模式和规则。

以→、∧、∨和为初始联结词，系统C(1≤n＜ω)的公理模式和推理规则如下：

(→1)A→(B→A)

(→2)(A→B)→((A→(B→C))→(A→C))

(→3)A，A→B／B

(→4)((A→B)→A)→A

(∧1)A∧B→A

(∧2)A∧B→B

(∧3)A→(B→A∧B)

(∨1)A→A∨B

(∨2)B→A∨B

(∨3)(A→C)→((B→C)→(A∨B→C))

(1)B→((A→B)→((A→B)→A))

(2)A∧B→(A→B)∧(A∧B)∧(A∨B)

(3)A∨A

(4)A→A

这里，对于任意公式A，A的定义如下：

A=A=(A∧A)；

A1=(A)，即，(A∧A)；

A=A∧A∧…∧A。

从C中去掉→4、1和2就得到系统的全部公理模式和规则。古典正命题逻辑所有有效的模式和规则在C(1≤n＜ω)中都成立。特别有，演绎定理对于C(1≤n＜ω)有效。包含直觉主义正命题逻辑，但皮尔士律((A→B)→A)→A在中不成立。在系统C(1≤n＜ω)中，A在直觉上表示公式A的行为符合古典逻辑的要求，由此可见模式(1)和(2)的直观意义。更进一步可知，在系统C(1≤n＜ω)中，联结词→、∧、∨和(这里，A定义为A∧A)分别具有古典命题逻辑中蕴涵、合取、析取和否定的全部性质。但是，下列模式：

A∧A→B，A∧A→B，A→(A→B)，

(AA)→B，(AA)→B，A→A，

(A∧(A∨B))→B，(A→B)→(-B→4)，(A∧A)，

在任一个C(1≤n≤ω)中都不成立。以C记古典命题演算，那么系列C、C、…C、…C使得对一切正整数i有C弱于C，C是这系列中最弱的演算。系统C(1≤n≤ω)都是可判定的，但不是由有穷真值表可判定的。系统C都可扩张成一阶和更高阶的逻辑，并在其一阶逻辑上建立强的弗协调集合论。

弗协调逻辑现已成为一个发达的主题，特别是在澳大利亚、巴西、保加利亚、意大利、波兰、前苏联和美国得到了发展，形成了各种研究方向。弗协调逻辑跟弗完全逻辑(允许一命题与其否定可以同假的逻辑)、弗晰逻辑、多值逻辑以及某些哲学理论(如辩证法、黑格尔哲学、A．von梅农的本体论和L．维特根斯坦晚期的逻辑论断等)都有密切的联系。