槪括公理

关于集合存在的一个公理。在集合论中，首先面对的一个问题是什么集合存在，或者说，如何找到或构造集合?一个素朴的观念是，不论什么对象，只要它们是确定的，可区别的，汇聚在一起就是一个集合，或者共同具有某个性质的所有对象组成一个集合。当然上述素朴观念太不精确，必需把它加以精确化，使之成为可在集合论语言中表达的一个原则。这就导致下述的想法，凡满足某个可用集合论语言陈述的条件的所有对象组成一个集合，或者说，满足集合论语言中的一个公式的所有对象组成一个集合，把刚才说的这个命题，用集合论语言精确陈述出来，就是下述概括公理：

其中A(x)是集合论语言中的任意公式，变元x在A中自由出现。但变元y不在A中自由出现，因为如果y在A(x)中自由出现，这就会引起在A(x)中自由的这个y与公理断定其存在的那个y的混淆。概括公理(*)实际上是一个公理模式，相应于每一公式A，都是一个公理；集合论的公式有无穷多个，因此，(*)代表无穷多个公理。不幸的是，从这个公理很容易推出矛盾。例如，取公式xx作为概括公理(*)中A(x)，就得出罗素悖论(参看悖论)。

对于产生悖论的原因，逻辑学家有不同的看法和分析，因而沿着不同的途径来解决逻辑悖论。一种看法是，概括公理的错误和产生悖论的原因在于，按照公理是要构造一个新的集合，而它又同时假定所有集合都已可以处理的。按照这种观点，集合是逐步构造起来的，我们只能把在较早的阶段已经构造好的集合汇聚组成新的集合，而不能把所有满足条件A(x)的集合“汇聚”起来，这个观点是由B．罗素首先提出来的，并反映在他的类型论中。罗素把对象(集合)区分为不同的类型，在构造的不同阶段得到的集合的类型不同，一个集合能作另一集合的元素，必须符合型的规定。类型论的具体做法是修改集合论语言的形成规则。相应于日常语言中的条件“x不是x的元素”的公式xx，不是类型论中的合式公式。在类型论中，概括公理具有新的形式：

集合y是i+1型的，它的元素x是i型的，满足条件A(x)的i型的集合构成集合y。

另一看法也是罗素首先提出来的，认为概括公理本质上是真的。按照这个看法，为了避免悖论，只需对概括公理作某种修补。具体地说就是限制大小理论：我们应用概括公理仅是为了得到这样的新的集合，它们与在构造时已假定其存在的那些集合相比，不是“太大的”。E．策尔梅洛建立的集合论公理系统，也是取的限制大小的立场和做法。策尔梅洛的决定性改变是用一个弱得多的公理模式来代替概括公理模式(*)，这就是子集公理模式或分离公理模式：

按照子集公理模式构造的新的集合，只是已存在的集合x的子集，只是把x的元素中那些满足条件A(x)的元素分离开来构成一个新的集合。因此，应用子集公理模式，从已存在的集合只能构造出较小的集合，而构造不出更大的集合，显然是一个太弱的原则。因此在策尔梅洛的公理系统中又引进另外几个公理，它们是以特定的公式替代原来无限制的概括公理模式(*)中的A(x)而得的公理。如取xz为(*)中的A(x)，得到的就是幂集公理。罗素的类型论和策尔梅洛的集合论系统，是对悖论和概括公理模式所采取的两种基本态度和做法。