公理系统

应用公理方法研究科学理论而建立的演绎系统。每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。应用公理方法研究科学理论也就是把一个理论公理化，即：①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念或基本概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；②从它的一系列命题中挑选出一组命题称为公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑推理规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的，每一定理都有一个证明。由初始概念、导出概念、公理和定理构成的演绎体系，就称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。

公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。公理系统相应地区分为古典公理系统和形式公理系统。最具代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个形式公理系统是由D．希尔伯特建立的。他在1899年出版的《几何基础》一书中，不仅给出了欧氏几何的一个完全的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。

古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的，概念是对象的反映，公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这些对象域的真命题。

从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预定的解释。但是，公理系统本身不要求有一个预先给定的对象域。系统的初始概念没有直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定。希尔伯特曾经说：“我们必须能够不用‘点、线、面’，而说‘桌子、椅子和酒杯’。”这当然不是说几何研究桌子、椅子和酒杯，而是表示，几何概念的直观意义不应作为推导的根据，一切用作推导根据的东西，都应该包含在公理中，都作为公理提出。由于基本概念没有直观内容，其它的概念也能使一个系统的公理为真，一个系统可以有不同的解释或模型。一个形式公理系统可以刻划多个不同的对象域，对初始概念作不同的解释，一个公理系统的公理和定理就成为不同对象域的真命题。

形式公理系统的一个简单例子，是关于等价关系的一个系统E。这个系统只有一个初始概念，用符号“R”表示，有3个公理：①所有x，xRx；②所有x，y，如果xRy，则yRx；③所有x，y，和z，如果xRy并且yRz，则xRz。以命题的集合S为对象域，把R解释为命题等值关系，E的3条公理都成为真命题；把这个解释记作：(S，)。以自然数集合N为对象域，把R解释为自然数间的相等关系=，在此解释下，3条公理都成为真命题；把这个解释记作：(N，=)。再以整数集合Z为对象域，把xRy解释为x-y能被5整除(记为R)，那么在此解释下，E的公理也都成为真命题；把这个解释记作：(Z，R)。(S，)，(N，=)和(Z，R)都是公理系统E的模型。

公理系统要满足某些一般要求，包括系统的协调性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。其中协调性是最重要的，其它几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不一定都要求的。