海廷代数

直觉主义命题逻辑的一种代数语义解释，与闭包代数、布劳维尔代数，伪有补格、伪布尔代数等同义。海廷代数最初并不是A．海廷发现的，早在1936年S．雅斯科夫斯基(1906～1963)就利用某种很特殊的有穷海廷代数建立了直觉主义命题逻辑的完全性。直觉主义谓词逻辑关于代数语义的完全性，是由H．拉西奥瓦于1951年证明的。

海廷代数的概念跟数学中格的概念有关。一个格就是一个偏序集(X、≤)，使得X中任二个元素a、b的最小上界(称为a、b的结)a∨b和最大下界(称为a、b的交)a∧b仍在X中。格中的零元是指满足x∈X(⊥≤x)的元素⊥(或记为0)，而单位元是指满足x∈X(x≤)的元素(或为1)。如果格中有零元或单位元，那这样的元素总是唯一的。结和交可以看成是格的二个二元运算，它们具有某些性质。反之，具有这些性质的二个运算也决定了一个格，这也就是说我们可以给出格的另外一种定义。一个格(X，∧，∨)由一个集合X和X上的二个二元运算∧、∨组成，使得对一切a、b、c∈X有：

a∧a=a，a∨a=a，

a∧b=b∧a，a∨b=b∨a，

a∧(b∧c)=(a∧b)∧c，a∨(b∨c)=(a∨b)∨c，

a∨(a∧b)=a，a∧(a∨b)=a。

由此定义出发，令a≤b为a∧b=a(或等价地，a∨b=b)，就可证明两种定义是等价的。

所谓一个海廷代数，是指一个结构(X，∧，∨，⊥，→)使得(X，∧，∨)是以⊥为零元的一个格并且X上的二元运算→(称为相对补或蕴涵)满足：(a∧b)≤c当且仅当a≤(b→c)。

直觉主义命题逻辑代数模型的根本想法是用海廷代数中的元素来解释命题。给定一个海廷代数(X，∧，∨，⊥，→)。一个指派就是为各个命题变项中指定X中一个元素v(P)的映射v。给定一个指派v后，可以递归地将其扩张成一个赋值：

这里，等式左边的∧、∨、→是命题联结词，而等式右边的∧、∨、→是海廷代数(X，∧，∨，⊥，→)中的运算，不要搞混。如果对于海廷代数(X，∧，∨，上，→)上的所有赋值v都有v(A)=(即，⊥→⊥，单位元)，那末称A为在(X，∧，∨，上，→)中有效。如果A在一切海廷代数中都有效，那么称之为有效的(或普遍有效的)，记为A。更一般地说，如果A在任一个使公式集Γ中所有命题都有效的海廷代数中有效，那末称A为Γ的一个语义后承，记为ΓA。直觉主义命题逻辑相对于代数模型是完全的，即，Γ┝A当且仅当ΓA。

代数模型是直觉主义命题逻辑最广的一种语义解释，例如每一个克里普克模型都可转换成与之等价的一个海廷代数。直觉主义命题逻辑的代数模型也可推广到直觉主义谓词逻辑上。