《集合论基础》

此书是《逻辑和数学基础研究》丛书第67卷，1958年出版，1973年修订后再版。修订版由A．A．弗兰克尔，Y．巴尔－希勒尔和A．列维三位教授合著，D．范·达伦博士负责书中部分注解工作。全书共5章，并附有一个详尽的文献目录，详细介绍了本世纪初集合论基础研究中形成的几个主要流派。

历史上，悖论、特别是罗素悖论的发现从根本上动摇了G．康托尔的朴素集合论的基础。因此，作者首先在第1章分别介绍和分析了逻辑悖论和语义悖论，前者包括罗素悖论、康托尔悖论和布拉里－福蒂悖论，后者包括理查德悖论、格里林悖论和说谎者悖论。并对悖论在数学基础中的作用进行了评价。

为了消除悖论，重建集合论基础，数学家和逻辑学家作出了种种尝试。此书分为公理化的、逻辑主义的和直觉主义的理论等3大类。以E．F．F．策尔梅洛为代表的公理化学派认为悖论的根源在于康托尔关于集合的基本假设，即对每一个条件相应存在一个实体包含满足该条件的所有对象。因此他们用一组有关集合的公理代替康托尔关于集合的基本假设来避免悖论，所建立的公理系统不仅排除了已知的悖论，而且仍能在其中展开大部分古典数学。第2章分别介绍了策尔梅洛和弗兰克尔的公理系统ZF和ZFC、J．冯·诺伊曼和P．贝奈斯公理系统VNB和与之相关的一些系统、以及W．阿克曼的系统A，并对这些系统之间的联系与区别作了详尽的讨论。

以B．罗素为代表的逻辑主义学派认为悖论的根源在于想当然地把每个语法上正确的陈述语句当作某种非此即彼的东西。因此，他们通过对形式语言的限制来避免已知的悖论。第3章(类型论方法)讨论了根据这种想法所建立的理论，包括类型论和与此密切相关的一些集合理论，并对这些理论作出了客观的评价。此外，还对与类型论方法相关的逻辑主义论题、非直谓概念的形成等问题作了详尽的分析。最后，简短讨论了建立在非标准逻辑(不包括直觉主义在内)之上的集合理论。

以布劳维尔为代表的直觉主义学派则采取了根本不同的立场。在他们看来，康托尔的集合概念从一开始就是完全错误的，是对数学本质的误解；传统数学和康托尔集合论把仅在有穷领域内有效的推理方法不加证明地用到无穷领域，因而传统数学和康托尔集合论的基础是不牢靠的，这才是产生悖论的真正根源。他们认为数学可以构造在一种直观上可靠且毋庸置疑的基础上，相应地也就不必再为悖论所困扰，它们只不过是些语词的空洞组合，毫无构造性的内容。也可以说，对直觉主义学派而言，根本不存在悖论的问题。第4章(直觉主义的数学观)对此作了深入细致的讨论，包括有关的历史背景，直觉主义的数学观、语言观和逻辑观，直觉主义的构造性论题及其对逻辑和数学的影响等内容。

在上述重建集合论基础的三种学派中，公理化学派所建立集合论公理系统内虽然避免了已知的悖论，并且甚至到目前为止也没有遇到新的悖论，但这些系统的协调性却仍然没有得到证明。逻辑主义学派也有同样的问题。传统的利用模型证明协调性的方法不能应用，必须寻找新的方法，著名的希尔伯特方案就是要提供这种方法。最后1章(元数学的和语义学的方法)对希尔伯特方案，以及由此方案所发展起来的元数学作了系统的讨论。最后，还研究了与集合论基础相关的哲学问题。