寇尼希引理

选择公理的一个弱形式。它是说，如果〈T，＜〉是长度为ω的一树，且它的每一层都有穷的，则T有一无穷枝。这是D．寇尼希在1926年给出的引理。在选择公理成立时，很容易获得它的证明。在无选择公理时，人们曾使用力迫方法证明：存在ZF公理系统的一模型，在其中存在一ω树它既没有无穷反链也没有无穷长的枝(参见选择公理，偏序集合)。上述树的概念就是良偏序集合的概念。也就是说，如果偏序集合〈T，＜〉满足性质：对于任一x∈T，x关于关系＜的前节O(x)即

｛y｜y∈T且y＜x｝

都是关于＜的一良序集合，则称〈T，＜〉为一树。显然，O(x)的序型为一序数，称为x的长度，树T的长度为序数Sup｛ρ(x)｜x∈T｝，记作αI，其中ρ(x)为O(x)的序型。对于任意序数α＜ατ，集合｛x｜x∈T且ρ(x)=α｝的序型叫作第α层的层数。树T的极大链叫做树T的一枝。给出上述说明后，引理的直观含义是十分清楚的了。这一引理在构造可数模型时也有应用。