赖兴巴赫的频率解释和认定理论

H．赖兴巴赫把概率解释为无穷序列的相对频率的极限。任给一个无穷序列〈xi：i=1，2，…〉，用N(A)表示该列序前n个元素中属于类A的元素的数目。同样，任给两个一一对应的序列〈x：i=1，2…〉，〈y：i=1，2，…〉，N(A∧B)表示两序列前n个元素中第一个序列中满足x∈A且对应的序列中满足y∈B的元素的序对的数目。这样，相对频率F(A，B)就定义为N(A∧B)／N(A)。概率P(A，B)就定义为F(A，B)。可以证明，赖兴巴赫的概率演算被频率解释所满足。上述频率解释是针对事件序列的，赖兴巴赫为了把它贯彻到单个事件上，就提出了认定理论。他认为，一个认定是一人们看作真的陈述句，尽管它的真值是未知的。人们作出一认定是因为看起来这是人们所能够作出的最好选择。单个事件的概率概念可以看作是一准概念，它必须用根据类概念构造起来的替换物来置换，这个替换的构造是把单个事件看作是逐渐变得越来越狭窄的类的极限。若用子序列的概率P(A∧S，B)而不是用P(A，B)来作为认定的根据，就能得到更大数目的成功，那么重复地把主序列划分成子序列，将会导致越来越好的结果，只要根据一般的经验，这一概率在每一步都在增加。当这个单个事件一直处于越来越窄的类中，这个概率就趋于极限。若希望改进一认定，必须做一选择S，使得P(A∧S，B)＞P(A，B)(若P(A∧S，B)＜P(A，B)，则选择S就具有所希望的性质，从而推出P(A∧S，B)＞P(A，B))。若现在认定B只在A∧S的场合，而且不考虑A∧S的场合的认定，则较之原来的认定，得到了一更大数目的成功。若选择S同时满足P(A∧S，B)＜1／2，则更有利。于是，在A∧S的场合总是认定B。这样就对原序列的每一元素都做一认定且得到更大数目的成功。这个过程称为双重认定法。赖兴巴赫还提出了渐近认定法，即通过考察相对频率F(A，B)，F(A，B)，…，F(A，B)，认定极限频率F(A，B)随n→∞将趋于F(A，B)+C，其中c是一收敛函数，满足C≥0，C+F(A，B)≤1且C=0。赖兴巴赫认为虽然所有的渐进认定法都能用于从相对频率求极限频率，但简单枚举法是其中最好的一种。