连续统假设

数理逻辑中一个著名的未解决的难题，简单地说就是一直线上的点有多少的问题。由于它出现在与数学基础、逻辑学密切相关的集合论领域内，在公理集合论产生后，它直接关系到与集合论的通常公理之间的关系，因此，长期内它一直是数理逻辑的一个中心问题。它是G．康托尔在1878年提出的关于连续统的势(即基数)的一个假设(参见阿列夫、基数)。自古以来，直至康托尔之前，人们一直认为无穷是彼岸，不可能有一个无穷集合比另一个无穷集合大，无穷是不可比较的。1874年康托尔证明了：连续统的势(即实数集合R的势)比自然数集合的势大，(参见阿列夫)。任一集合S，它的幂集合P(S)的势都比S的势大，即。这才指明了古代的无穷观是错误的。

康托尔已经证明，实数集合R的势与自然数集合ω的幂集合P(ω)的势是相等的，而后者通常表示为，因此就有：。所谓连续统问题是指：是否存在一个势，它大于自然数集合的势，而又小于实数集合R的势，即是否存在一势κ，使得：

康托尔猜想，上述不等式中的κ是不存在的。亦即对于实数集合R，除了有穷子集合，可数无穷子集合外，下余的就是与R等势的子集合了，再没有其它别样的子集合了。康托尔这一猜想，就叫做连续统猜想，或连续统假设。

在选择公理成立的前提下，每一无穷集合的势都是某一个阿列夫，亦即对于每一无穷集合S而言，都存在某一序数α，使得S的势为，因此，连续统假设就可以等价地表示为

其中为大于的第一个阿列夫，即所有可数序数所组成的集合的势。连续统假设通常记作CH。

在数学研究的许多领域中，连续统假设是不可缺少的。例如，W．谢尔宾斯基曾指出有12个重要的数学命题与CH等价，有81个数学命题可以由CH推出。比如，在讨论实数子集合的测度性质和拓朴性质时，其中一个基本问题：“与R不等势的子集合是否测度为零?是否属于第一范畴?”在没有CH成立的情况下，不能回答。所以，在从事这一方面的研究中，常常要附加上CH作为前提条件。实际上，CH等价于下述命题K和L的合取。

K：每一XR、｜X｜＜，X是第一范畴集合。

L：存在一集合SR，｜S｜=且S和每一无处稠密集合的交都是至多可数的。

此外，以下的每一命题也都等价于CH。

P：实平面可以分成两个集合X，Y，集合X和每一水平线只有可数交点，集合Y和每一垂直线只有可数交点。

P：实平面是可数多条线的并集合。

CH还等价于下述命题M和S的合取：

M：每一基数为比小的实数集合的测度为零。

S：存在一集合SR，，且S和每一零测度集合的交都是至多可数的。

关于实数集合上的实函数论，在假定了CH的前提下，就有

C：存在一个从R到R的函数f，它在任一不可数集合RR上都不连续；

C：存在一个函数f∶R→R，和RR，R=，f在R上连续，但在R的任一不可数子集合上，f都不一致连续。

尽管CH在数学研究的许多领域中作用显著，但在纯粹集合论研究中还需加以推广，这就是广义连续统假设GCH

对于任意序数α，有=。

这是CH的推广，康托尔在1883年也曾估计到。这也是GCH的一特殊形式。

GCH还有一个等价的形式，就是：对于任意序数κ，λ，若κ≤λ≤2，则有κ=λ或者λ=2。

GCH可以用以将基数的幂运算简化如下：

连续统问题在希尔伯特1900年的讲演《数学问题》所列的23个问题中，是第一个问题。康托尔、希尔伯特等著名数学家都曾作过艰苦奋斗，力图解决这一问题，但在相当长一段时间内未能取得进展。只是寇尼希1905年证明，任一序数α，如果α=cf(ω)，则。

在公理集合论的蓬勃发展中，1938年，K．哥德尔创造了可构成方法(参见可构成集合、可构成公理)，证明了如果ZF协调，则ZF+AC协调，即选择公理的相对协调性结果。特别是证明了，如果ZF协调，则ZFC+CH也协调。在1963年，P．J．科恩又证明CH的独立性，即如果ZFC是协调的，则ZFC+CH是协调的。(参见策尔梅洛－弗兰克尔公理系统、力迫方法)

由于ZFC系统无法决定连续统问题，甚至附加上直观上可靠的大基数公理(参见强无穷公理)仍然无法推出CH。因而包括哥德尔在内的一些数学家都认为CH不可信，想用一新的公理来代替CH，这方面的一个突出的成果是D．A．马丁等人在1970年提出的马丁公理(参见马丁公理)，它与力迫方法相辅相成，结合发展，又获得马丁极小原则与真正力迫公理，它们有广泛的应用，目前尚在进一步的研究中。