量词

命题中表示数量的词，是组成命题的一种成份。量词有两种：全称量词(universal quantifier)和存在量词(existential quantifier)。例如，在“所有阔叶植物是落叶植物”，“有的水生动物是哺乳动物”这两个命题中的“所有”、“有的”都是量词，其中前者是全称量词，后者是存在量词。在汉语中，“所有”、“一切”、“凡”、“每一”等表示全称量词，“有的”、“有一”、“有”、“至少有一”等表示存在量词。在逻辑演算中，用符号来表示量词。逻辑学家所用的符号不完全相同，一种比较通用的符号是，在符号后面跟一个个体变元(比如x)表示全称量词，记作：x；在符号后面跟一个个体变元(比如x)表示存在量词，记作：x。和分别称为全称量词符号、存在量词符号。在表示命题形式时，量词的作用非常重要，量词的次序不同就表示不同的命题。例如，设F(x，y)表示“y大于x”。xyF(x，y)表示：“对于每一x，都有一y，y大于x”，也就是等于说“没有最大的一个y”。而yxF(x，y)则表示“有一y，对所有x，y大x”，意思是“y大于所有x”，即“有一个最大的y”。

有的量词，其作用范围不是整个论域，而是限制于论域的某个子集合。这样的量词称为有界量词，也称限制量词、受囿量词。例如，在命题“每一大于1的整数皆能表成素数的乘积”中，全称量词“每一”的作用范围不是由全体整数构成的整个论域，而是限制于由“大于1的整数”组成的子集。带有界全称量词的命题表示论域中某个子集的所有个体都有某个性质，带有界存在量词的命题表示论域的某个子集中存在有某性质的个体。设以自然数为论域，A(x)是带自由个体变元x的公式，表示带有界量词的命题的公式，具有以下的形式：

①x＜nA(x)，

②x≥nA(x)，

分别读作：所有小于n的个体x，A(x)成立(或，所有小于n的数有性质A)；存在大于或等于n的个体x，使得A(x)(或，有一大于或等于n的数有性质A)。

也可以不使用有界量词，把上面的①②分别改写成：

设S为一集合，在集合论语言中，带有界量词的命题，通常具有形式：

如同①②，③④也可改写成不带有界量词的公式。注意，在把带有有界全称量词的命题表述成不带有界全称量词的命题时，用蕴涵式；把带有界存在量词的命题表述成不带有界存在量词的命题时，用合取式。

在带等词的谓词逻辑中，还可以定义一种量词，称为数量量词。如“恰好有一个个体”，“至少有n个个体”，“至多有n个个体”，“恰好有n个个体”。通常用!x表示“恰好有一个个体”，用nx表示“至少有n个个体”。其它数量量词的表示可从nx，用联结词和∧，以及全称量词符号定义。