逻辑主义

在第三次数学危机后产生的一种解决数学基础问题的理论，由此形成的学派称为逻辑主义学派，以B．罗素为代表，其成员有：A．怀特海、R．卡尔纳普、A．丘奇和W．V．O．蒯因等。逻辑主义的基本论题是：数学是逻辑的延伸，数学的概念需用逻辑的概念来定义，数学的定理需作为逻辑的定理而证明。为了从逻辑推出全部数学，罗素与怀特海合作写了3大卷的《数学原理》，建立了一个庞大的系统，史称逻辑斯蒂(logistic)，简记为PM。

为了排除悖论，罗素提出了逻辑类型论。这一理论包含两个部分：简单类型论和分支类型论。简单类型论把类或谓词分为不同的类型，个体被指定属于类型0，个体的性质属于类型1，个体的性质的性质属于类型2，等等；任何性质都必须属于这些类型之一。也可对关系划分类型。根据简单类型论，只有类型n的对象才能为类型n+1的对象的分子，这样集合论的悖论便可排除。为了排除涉及所有性质总体的那种定义(非直谓定义)，必须在类型0以上的各类型中再细分为不同的阶。这就是所谓的分支类型论。分支类型论的基础是禁止恶性循环原则，即禁止涉及所有性质的总体(不合法总体)的原则。例如，就类型1来说，不提到任何总体的性质便属于0阶，而用到某阶性质总体而定义的性质便于更高一阶。这种区分为阶的办法却不能构造出通常的实数论，不能说到所有实数的总体，而只能说到各个不同阶的实数。为了避免这个结果，罗素又假定可化归性公理，这一公理说对于任何不属于0阶的性质都有一个相同外延的属于0阶的性质，也就是说，对每个非直谓定义都有一个等价的直谓定义。分支类型论是比较复杂的理论，引进可化归性公理实际上是把分支类型论简化为简单类型论。然而，可化归性公理是一条人为的公理，连罗素自己也不满意它。在1925年，罗素在《数学原理》第二版中作了唯一的修改，即在数学归纳法的使用中取消了可化归性公理。1926年，罗素的学生F．P．拉姆齐指出，如果取消阶的区分，只用简单类型论，可以得到所求的结果。他把悖论分为两类：一类现在被称为“逻辑悖论”即集合论悖论(如康托尔悖论、布拉里－福蒂悖论、罗素悖论)，另一类现在被称为“语义悖论”(如说谎者悖论)；他指出，逻辑悖论可由简单类型论加以排除，而语义悖论在逻辑系统的对象语言中是不会出现的。拉姆齐成功地取消了分支类型论，初步地解决了分支类型论所引起的难题。

罗素在从逻辑推导数学的过程中发现，要增加两条非逻辑的公理：选择公理(罗素称它为乘法公理)和无穷公理。罗素的实践表明，增加这两条公理后，从逻辑可推导出一般算术和集合论，可推导出大部分数学。这说明逻辑和数学有密切的联系，但它们并不等同，从逻辑不能推出全部数学。蒯因发展了罗素的逻辑主义理论，改进了PM系统，构造了简化的NF系统。这一系统提出了一个既避免了集合论的悖论又不必接受类型论的方法，其推演能力也超过PM系统。后来，蒯因又改进了NF系统，构造了一个更强、更方便的ML系统(1940年)，这是逻辑主义者最新的成果。

逻辑主义学派是数学基础和数理逻辑中的一个学派，他们的主要观点是关于数学基础的，这并不属于唯心主义，但是，逻辑主义者的数学哲学观点却是唯心主义的。罗素明确说，逻辑原理是先验的。由此，数学就是先验地从逻辑的定义、公理的基础上演绎出来的。这是逻辑主义中的先验唯心主义的数学哲学观点，是完全错误的。但是，决不能因此就把逻辑主义与唯心主义划等号。逻辑主义学派在数理逻辑发展史上起了巨大的作用。逻辑主义的代表作——《数学原理》是数理逻辑史上的一座里程碑，具有承先启后的作用。