模态对偶理论

研究模态逻辑的一般关系语义和模态代数语义之间的联系，具体地说就是标架和模态代数之间的对偶性。对偶理论是随模态代数语义在20世纪70年代的复兴而建立起来的理论。它的第一个基本定理(模态代数表示定理)早在1951年就已发表在B．琼森(Jonson)和A．塔尔斯基(Tarski，1902～1983)合作的重要论文中，但在克里普克的论文《模态逻辑的语义分析》于1963年发表以后模态代数就几乎完全消失了，一直到70年代发现克里普克关系语义的不完全性以及S．K．托马森(Thomason)引进一般的标架概念以后才重新得到研究。对于任一个标架=(W，R，P)而言，〈P，，W，－，∩，∪，l，m〉形成一个模态代数，称为的对偶。这个模态代数和标架是等价的，也就是说，一命题在上有效当且仅当它在上有效。如果以和分别表示和上有效的全体命题，那末有。任一个模态代数=〈A，0，1，－，∩，∪，l，m〉也确定一个标架=(，，)，称为的对偶，这里由A的全体超滤组成，和的定义如下：

ωω，当且仅当，对每一个a∈A而言，l(a)∈ω蕴涵a∈ω；

琼森－塔尔斯基表示定理可陈述如下：任一个模态代数同构于它的二次对偶。这里，第一次是作为模态代数的对偶，第二次是作为标架的对偶，二次对偶的结果是一个模态代数。类似地，标架的二次对偶是一个标架。琼森－塔尔斯基表示定理的直接推论就是，模态代数等价于它的二次对偶，即，。利用标架与其对偶等价，又可得到，也就是说，模态代数与其对偶等价。由此得到标架与其二次对偶等价的结论，即，。但是，标架不一定同构于它的二次对偶。只有满足一定条件的标架才能与其二次对偶同构，这样的标架被称为描述性标架。已经证明，一标架与其二次对偶同构当且仅当它是描述性标架。任一个标架本身不一定是描述性标架，但它的二次对偶倒是一个描述性标架，因此我们有同构于。按范畴论的说法就是，模

态代数范畴和描述性标架范畴是相互对偶的。在G．萨姆宾(Sambin)和V．瓦克加罗(Vaccaro)于1989年合作发表的论文中，他们引进了弱收缩映射的概念，并且证明了以此类映射为标架之间的联系所形成的标架范畴和模态代数范畴是伴随的。