模态逻辑

非古典逻辑的一个分支，研究涉及模态概念的推理，必然性和可能性是它研究的基本概念。涉及模态概念的命题就是模态命题，例如“必然p”和“可能p”。这类命题不是真值函项的，也就是说它们的真假不完全由支命题的真值所决定，A真时“必然A”未必真而A假时“可能A”也可为真。以模态命题为前提或结论的推理就是模态推理。

这一分支的研究始于古希腊哲学家亚里士多德。他把命题分为3种，实然命题、必然命题和偶然命题。后两种属于模态命题。他的“必然”既指客观事物的必然性也指演绎推理的逻辑必然性，而“偶然”则指既非必然也非不可能。把“必然”和“偶然”分别加到4种直言命题上就得出8种模态命题，他讨论了这8种模态命题的换质与换位，也讨论了它们之间的真假关系。像研究直言三段论一样，亚里士多德精心处理了模态三段论(至少有一前提为模态命题的三段论)。他的学生泰奥弗拉斯多也创造了一个不同的模态三段论系统，提出了结论从弱原则(结论的模态不能强于前提的模态：必然强于实然、实然强于可能)。稍后，麦加拉－斯多阿学派深入探讨了模态概念。在9～12世纪，阿拉伯逻辑学家继承和发展了古希腊的模态逻辑思想。伊本·西那把模态概念和命题的时间结合起来，创造了新的模态三段论系统。12～15世纪的欧洲经院逻辑学家区分了命题模态(de dicto)和事物模态(de re)，在推理和模态三段论等方面取得了不少成果。他们还研究了知道、怀疑、愿意等主观模态概念和应当、许可等道义模态概念的逻辑性质。

现代模态逻辑是伴随着现代逻辑的产生而产生的，它创立于19世纪末至20世纪30年代。创始人C．I．刘易斯(1883～1964)从分析实质蕴涵出发，建立了一系列模态逻辑系统S1、S2、S3、S4、S5。他的工作确立了模态系统的多样性，显示了模态逻辑的丰富内容，引起了逻辑学家们的广泛注意。此后，不少逻辑学家围绕着他提出的模态系统，研究了它们的性质和基础。40年代中期建立起了卡尔纳普语义学和模态谓词演算，虽然没有完全解决有关语义和谓词方面的问题，但为后来建立严格的语义学作了准备。与此同时，J．C．C．麦金西(1908～1953)等人把当时古典逻辑的代数语义学成果运用于模态逻辑，为模态代数语义的研究奠定了基础。在刘易斯模态系统提出之后，又出现了许多别的模态系统。在相当长的一段时期，这些系统都缺乏较为完善的语义解释。到50年代后半期才有突破性的进展，由几位逻辑学家各自独立地提出了类似的模态逻辑语义理论，其中以克里普克关系语义(也称克里普克可能世界语义)影响最大、流传也最广。

克里普克关系语义比较符合直观，易于理解和接受，并且具有较强的处理问题的能力，因此在模态逻辑以后的发展中首先得到发展和完善。关系语义学建立以后模态逻辑发展迅速，在短时间内解决了一批模态系统的完全性问题，以及争议多年的模态逻辑语义解释方面的某些问题。完全性问题方面所取得的越来越一般的结果，促使人们希望能证明任一个正规模态系统的完全性。70年代出现的不完全性结果终止了这一希望，后来的结果甚至表明存在有不可数多个不完全的正规模态系统。模态逻辑本质上是二阶的，克里普克关系语义尽管功勋卓著，但它作为研究模态系统的工具还是不充分的。随着研究的深入，模态代数语义在70年代得到了复兴，也提出了一般关系语义和邻域语义。克里普克关系语义、正规邻域语义、一般关系语义和模态代数语义，这4种语义在有穷情形下相互等价。它们之间精确的包含关系，也已在70年代全部弄清。有穷语义真包含于克里普克关系语义，克里普克关系语义真包含于正规邻域语义，正规邻域语义真包含于一般关系语义，一般关系语义等价于模态代数语义。

70年代的模态逻辑理论跟以往时期的大不一样，技术性很强，泛代数和范畴论等领域的很多结果也被应用来发展理论。这一时期是模态逻辑发展的黄金时代，正如有的逻辑学家所说，这一时期竖起了模态王国的3大理论支柱：完全性理论，对应理论和对偶理论。80年代继续向纵深发展，以泛代数和范畴论为工具开展模态代数格的研究，加深了对模态逻辑的整体性认识。70～80年代期间，模态逻辑研究的其它方面，如可证性解释、多值模态逻辑、直觉主义模态逻辑和模态谓词逻辑等，也都得到了很大的发展。