模型

语义学概念。又称结构。语言L的模型是二元组(A，g)，记作=(A，g)，其中A是一非空集合，称为的论域，A的基数｜A｜称为的基数。g是由L中符号到A上的一些关系、函数及A中一些元素的一个映射：对于L中每一n元谓词符号F，g都指定A上的一个n元关系R来解释它；对于L中每一n元函数符号f，g都指定A上的n元函数f来解释它；对于L中每一个体常元c，g都指定A中的一个元素a来解释它。映射g构成在A中对于L的一个解释。

L的模型只对L中的某些项(即不含有自由个体变元的项)指定一个值，也只足以对L中闭公式(语句)指定真值。下面将对L中任意公式A(x，…，x)，其自由变元都在x，…，x中，对于A中任一n+1元组a，…，a，定义a，…，a在A中是否“满足A”的概念。

设是语言L的模型。对于L中的项t(x，…，x)及A中的n+1元组a，…，a，归纳地定义t在a，…，a处的值t［a，…，a］的如下：

(i)若t=x，则t［a，…，a］=a．

(ii)若t是个体常元c，则t［a，…，a］为c在中解释a。

(iii)若t=f(t，…，t)，而f在中的解释为f，则t［a，…，a］=f(t［a，…，a］…t［a，…，a］)。

设是语言L的模型，A(x，…，x)是L中的公式，其自由变元和约束变元都在x，…，x中。对A中的任一n+1元组a，…，a，归纳地定义“a，…，a在中满足A(x，…，x)”，记作A(x，…，x)，如下：

(i)若A为t(x，…，x)=t(x，…，x)，则A［a，…，a］当且仅当t［a，…，a］=t［a，…，a］。

(ii)若A为F(t(x，…，x)，…，(x，…，x))，则A［a，…，a］当且仅当R(t［a，…，a］，…，t［a，…，a］)真。(其中R为F在中的解释。)

(iii)若A为B(x，…，x)∨C(x，…，x)，则A［a，…，a］当且仅当B［a，…，a］或者C［a，…，a］。

(iv)若A为B(x，…，x)，则A［a，…，a］当且仅当B［a，…，a］不成立。

(v)若A为xB(x，…，x)，(i≤n)，则A［a，…，a］当且仅当对每一a∈A都有B［a，…，a，a，a，…，a］。

设是语言L的模型，A(x，…，x)是L中的公式，其自由变元都在x，…，x中，其约束变元都在x，…，x(r≥n)中。对于A中的元素序列a，…，a，如果存在A中的元素序列a，…，a，能使A［a，…，a］成立，则称a，…，a在中满足A(x，…，x)，记作A［a，…，a］。特别地，当A是L中语句时，若存在A中的元素序列a，…，a，能使A［a，…，ar］成立，则称满足A，记作：A。

设A(x，…，x)是L中的一个公式。如果对于L的每一模型及A中每一个n+1元组a，…，a，都有A［a，…，a］，则称A是L中的一个常真公式。当常真公式A是语句时，称A为L中的常真语句。

设Φ是L中一个语句集，是L的一个模型。如果对每一A∈Φ都有A，则记作Φ，并称是Φ的一个模型。