模型论

数理逻辑的一个分支，是研究形式语言及其解释之间关系的理论。在20世纪20年代，A．T．司寇伦等人在数理逻辑研究中就已得到模型论性质的重要结果。A．塔尔斯基1931年发表的《形式语言中的真理概念》是模型论的奠基著作，塔尔斯基是模型论的奠基人。A．罗宾逊等人也对模型论作过较多贡献。20世纪50年代，模型论形成为数理逻辑的一个分支学科。

按其所涉及的逻辑系统划分，模型论可分为：一阶模型论、高阶模型论、无穷长语言模型论、模态模型论、具广义量词逻辑模型论、多值模型论等。由于在数理逻辑中以一阶逻辑发展最成熟，模型论也以一阶模型论内容最丰富，应用也最多。

一阶模型论是关于一阶逻辑的模型论。一阶模型论的一个基础性定理是：一阶语言中的一个语句集(即形式理论)T有模型，当且仅当，T的每一有穷子集有模型。这个定理称为紧致性定理。它首先由K．哥德尔在1930年证明，是著名的哥德尔完全性定理的一个推论。后来L．亨金等人对完全性定理给出了新的证法。亨金的证法后来发展为模型论中构作模型的重要方法。紧致性定理是关于模型存在性的一个基本定理，应用很广。对于一个有无穷模型的理论T，应用紧致性定理总能造出它的非标准模型。例如，非标准分析的基础是实数系的非标准模型，其存在性就是根据紧致性定理。

模型论的另一个重要定理是勒文海姆－司寇伦定理：对一阶理论T，如果T有模型，则T有可数模型。后经塔尔斯基推广，称为LST定理：设一阶语言L中所能表达的语句数为λ(λ为一超穷基数)。如果L中的理论T有无穷模型，则T有任何基数为α≥λ的模型。它是关于模型存在性的一个基本定理。这个定理使得在讨论问题时可以改变模型的基数而不影响所考虑的理论T。这个定理在模型论和公理集合论中应用很广。

完全理论的研究是模型论中一个比较系统而带典型性的部分。一阶语言的一个理论T称为完全的，如果对于T的任何模型，，都有：与初等等价。完全的理论T的任何两个模型都有完全相同的性质。

初等子模型和初等链是模型论中的重要概念和方法。与此有关的一个概念是模型完全性。一个理论T称为模型完全的，如果对T的任何两个模型，，若为的子模型，则是的初等子模型。初等链是构作模型的一个常用方法。一阶语言L的模型，，…称为链，如果每一是的子模型。模型链…的并也是L的模型，是每一的扩张。如果模型链中的每一都是的初等子模型，则称初等链。初等链的并是每一的初等扩张。

一个理论T称为范畴的，如果T的任何两个模型是同构的。如果理论T是完全的并且有一有穷模型，则T是范畴的。一个理论T如果对任何两个基数为α的模型是同构的，则称T为α范畴的。范畴性的一个著名定理是：对于可数语言中的完全理论T，如果它对于一个不可数基数α是α范畴的，则T对任何不可数基数β也是β范畴的。范畴性是一个很有用的概念。它的有用性部分来自下述定理：如果T仅有无穷模型，并且T是α范畴的(α是一无穷基数)，则T是完全的。

饱和模型是模型论中的一个重要概念，它是一种内部性质极丰富的有用模型。利用饱和模型可以比较一致地证明关于形式理论的各种保持性定理。

超积是模型论中一个常用的由已知模型构造新模型的方法。超积的主要特性是：超积具有它的在一定意义下的“几乎一切”因子所共有的性质。在模型论中，超积常常能代替紧致性定理而起到类似的作用。在数学应用方面，它的能使一阶命题“转移”的特点，常常能起独特的推理工具的作用。

构造模型的常用方法还有语言的图象、省略型定理和力迫法等。司寇伦函数和不可辨元也是模型论中的重要概念和有用方法。

模型论和数理逻辑的其它分支有着密切联系。首先，各种逻辑演算是模型论的基础。在证明论中，有关判定问题的研究广泛使用模型论方法。在公理集合论中，有关大基数的研究与模型论有密切联系，布尔值模型被应用于各种独立性问题的研究。模型论力迫法则是移植自公理集合论，递归论中的很多重要概念及结果被推广应用于研究各种代数结构(模型)。