蒙塔古内涵逻辑

美国逻辑学家R．蒙塔古在《普遍语法》(1970)和《对普通英语中量词的适当处理》(1973)两文中所构造的内涵逻辑系统。D．加林在他的《内涵和高阶模态逻辑》一书(1975)中对之给予形式化处理，并将之称为IL。IL的要点是：表达式的语形是它的部分的语形的函项；表达式的语义是它的部分的语义的函项；表达式的语形和语义同构。IL的目的是将自然语言中内涵性短语与一个形式系统协调起来，因此IL的语义学既对语言表达式的外延作语义分析，又对表达式的内涵作语义分析。

IL的符号 ①类型。令e，t，s是任意3个对象，其中任何一个都不是有序偶，IL的类型集是满足下述条件的极小集T：1，e，t∈T；2，如果α，β∈T，则(α，β)∈T；3，如果α∈T，则(s，α)∈T。这里，属于类型e的对象是可能的实体或可能的个体，属于类型t的是真值1(真)和0(假)，属于类型(α，β)的对象是一个从属于类型α的对象到属于类型β的对象的函项，属于类型(s，α)的对象是由所有定义域是可能世界集s，其值域是属于类型α的对象集组成的类型，这里s本身并不是一个类型，因为没有任何必要直接谈论可能世界集s。应该指出的是，从可能世界到各类不同实体的函项就是适当类型的表达式的内涵。(α，β)经常写成αβ，(s，α)常常写成sα。

②初始符号。对于每一α∈T，有一个属于类型α的变元的无穷序列：xα，y，z，u，v，w，f，g，h，x′，y′……，一个属于类型α的非逻辑常项(名称)的无穷序列：c，d，c′，d′，……，再加上辅助性符号，λ，，，［，］。

③词项。可以递归地刻划IL中属于类型α的词项集Tmα如下：1，每一属于类型α的变元属于Tm；2，每一属于类型α的常项属于Tm；3，若A∈Tm，B∈Tm，则［AB］∈TM；4，若A∈Tm，x是一属于类型α的变元，则λxA∈Tm；5，若A、B∈Tm，则［AB］∈Tm；6，若A∈Tm，则∧∈；7，若A∈，则∈Tm。这里，3是说，若A是一函项的名称，B是该函项的主目的名称，则［AB］就是该函项对其主目的值的名称。4是说，若A是属于类型β的词项，x是属于类型α的变元，则λxA是属于类型(α，β)的词项，即λxA是一个对其主目xα的值是A的函项。5是说，若A、B是属于类型α的词项，则［AB］是属于类型t的词项，由于t是真值(1，0)的类型，［AB］就是一个判定A和B命名同样的东西的句子。6是说，若A是属于类型α的词项，则是属于类型(s，α)的词项，即指示名称A的内涵。7是说，若A是一内涵的名称，则就是该内涵在可能世界上所决定的外延。

当A∈Tm时，用Aα表示A，并采用通常的关于括号分组的约定；有时用(，)代替［，］，最外层的括号可以省略。

IL的语义学 给定两个非空集合D和I，D是可能个体的集合，I是可能世界集，基于D和I的标准框架包括下列要素：①M=D；②M=｛0，1｝；③M==｛F｜F：M→M｝；④M=M=｛F｜F：I→M｝。

IL的基于D和I的标准模型是一个系统M=(M，m)，这里α∈T，其中M是基于D和I的标准框架，m是一个意义函项，它对于每一常项C指派一个从I到M的函项，用符号表示，m(C)∈M。于是，所有类型的常项都被直接给予了内涵，并且这些内涵相对于给定的可能世界决定着外延。

如果M是基于D和I的模型，M的定义域用Dom(M)表示，并且用Ind(M)表示可能世界集I，用A(M)表示M之上的所有赋值的集合，也就是IL的变元集之上的所有函项v的集合，v使得对于每一属于类型α的变元x，v(x)∈M。如果v∈A(M)，x是属于类型α的变元，并且X∈Mα，那么v［x／X］表示另一赋值v′，v′只在一点上不同于v，即它把X指派给x。

可以把IL的词项A在M中相对于可能世界i∈I和赋值v的值(记为V(A))递归定义如下：

①V(x)=v(x)

②V(C)=m(C)(i)

③V(AB)=V(A)［V(B)］

④V(λxA)=定义在M上的函项F，F在X∈M上的值等于V′(A)，这里v′=v［x／X］

⑤V(AB)=1，当且仅当V(A)=V(B)

⑥V()=定义在I上的函项F，使得对于每一世界j∈I，F在j上的值就是A相对于j和v的值，即V()(j)=V(A)。

⑦V()=V(A)(i)

这里，①是说，变元相对于i和v的值就是v指派给该变元的值，与i无关。②是说，常项相对于i和v的值就是应用于世界i的该常项的内涵，其结果是属于常项所属类型的一个实体，与v无关。③说，表达式AB相对于i和v的值就是A相对于i和v应用于B相对于i和v的值所得的值。⑤使得成为一个同一记号。⑥实际上是说，结定一词项A，一可能世界i和一赋值v就能够生成另一词项，它相对于i和v的外延就是相对于v的内涵。特别应指出的是，的外延是独立于i∈I的，使得A的内涵是I上的一个常函项，即A的内涵在所有可能世界都是相同的。假如α代表e，则⑦是说，给定一词项Ae，它相对于特定的i和v指称某个个体概念，那么词项属于类型e，并且它指称一个个体，这个体是该概念相对所谈论的那个世界i的值。可以证明，对于任一表达式A，=A；=A，当且仅当，对于某些B，。

一变元x在一词项A中的出现是约束的，如果它出现在形如λx的部分之中，否则它的出现就是自由的。如通常一样，V(A)只依赖于在A中自由的xβ的值v(xβ)，使得如果A恰好包含不同的自由变元xβ，，并且X∈M，Y∈Mr，就用V(A)表示Aa相对于i和任一使得v(x)=X，v(y)=Y的赋值v的值V(A)。特殊地说，如果A是封闭的，即A不包含任何自由变元，则V(A)不依赖于赋值v，就把它简写为V()。

某些词项的值并不依赖于所考虑的特定的可能世界，它们被称为模态封闭的词项，定义如下：①每一变元是模态封闭的；②总是模态封闭的；③若A和B是模态封闭的，则［AB］是模态封闭的；④若A和B是模态封闭的，则［AB］是模态封闭的；⑤若A是模态封闭的，则λxA也是模态封闭的。由于模态封闭的词项A的值V(A)是独立于i∈I的，因此可将它简写为V(A)。若A既是封闭的又是模态封闭的，则把A相对于i和v的值写作V(A)。

IL的公式是属于类型t的词项A。给定一模型M，一可能世界i和一赋值v，若(A)=1，我们就说公式A在模型M中由i和v所满足，记为

M，i，v satA

当A是封闭的或模态封闭的或这两者时，就分别写作M，i satA；M，v satA；M sat A。当A是恰好包含不同自由变元xβ、y的公式，并且X、Y分别是M、M的元素时，就可以写作M，i，X，Y sat A。公式A在M中是真的，如果对于每一个i∈I和v，都有M，i，v sat A。对于一公式集∑中的每一公式A，若有M，i，v sat A，则称∑在M中被i和v所满足，记作M，i，v sat ∑。若对于某些M，i，v，有M，i，v sat ∑，则称∑在IL中可满足。若在IL中有M，i，v sat Γ就有M，i，v sat A，则称公式A在IL中是公式集Γ的语义后承，记作ΓA。若A在IL中是空公式集的语义后承，或者，若A在IL的每一模型中都真，则说A在IL中是有效的，记作ILA。

IL的公理和推理规则 在陈述公理之前，需在IL中用定义引入常项、上、语句算子、量词和模态算子等。

上述定义中，符号“”表示严格等值。在任一模型M中，上面所定义的联结词和量词具有它们通常所具有的意义。例如，M，i，v sat［A∨B］当且仅当M，i，v sat A或M，i，v sat B；M，i，v sat xA，当且仅当，对于每一X∈M，都有M，i，v［x／X］sat A．必然算子对于可能世界集上的量词而起作用，M，i，v sat □A，当且仅当，对于每一j∈I，都有M，j，v sat A。

IL有下述公理：

这里A(B)是在A(x)中用词项B替换x的所有自由出现的结果，不过要求(i)若y在B中是自由的，则A(x)中x没有任何自由出现处于λyC的部分之中；(ii)或A(x)中x没有任何自由出现在∧的辖域内，或者，B是模态封闭的。

IL只有一个推理规则：

R从AA′和公式B可推出B′，这里B′是由在B中用词项A′替换A的一次出现(前面并不直接加有λ)而得到的结果。