描述集合论

介于集合论和递归论之间的一个学科，它采用某些递归论的方法(如分层方法)研究具有一定拓扑结构的点集(如贝尔空间，实数空间，等等)，特别是研究射影集(参看射影集)的性质。

描述集合论起源于19世纪末，20世纪初，当时波雷尔(Borel)、贝尔(Baire)、勒贝格(Lebesgue)等人开始从拓扑的角度研究这些集合类。这个方向的研究在20年代达到高潮，苏斯林(Souslin)、鲁金(Lusin)、希尔宾斯基(Sierpinski)等人的工作是那个时期的代表(例如，苏斯林发现波雷尔集在射影运算下不封闭)。

10余年后，以克利尼为代表的一批逻辑学家在推广递归论的过程中又遇到了同样的对象。50年代末，艾迪森(Addison)认识到这两个方向的研究实际上是同一课题，于是形成现代的描述集合论。

描述集合论的问题往往是建立在射影集的分层这个基础之上，并具有以下形式：设P是有关结构方面的一个性质，证明对某些n，和之一具有性质P，但另一个不具有性质P。

在实际证明中，确定∑和Ⅱ不都具有性质P往往比较容易，而要确定它们之中究竟哪个具有性质P却比较困难，单靠ZFC公理常常不能解决问题，因此描述集合论中常涉及ZFC之外的一些集合论假设，如可构成性公理V=L，大基数公理，决定性公理AD等等。由于决定性公理AD与选择公理AC相矛盾，所以又常常将其中一个或两个加以弱化，使用射影决定性公理PD或依赖选择公理DC(至今并未发现，AC与PD矛盾，也未发现AD与DC矛盾，当然也未能证明其一致)。

例如，设Γ为一点集类，以Prewellordering(Γ)表示如下性质：对每个A∈Γ，存在函数φ：A→序数及R、S∈(是Γ的对偶类)，使对每个β∈A

在ZFC中可以证明：Prewellordering()和Prewellordering()

如果加上可构成性公理V=L，就可进一步得到：对每个n≥2，Prewellord-ering()。

如果采用射影决定性公理PD，则可证明：对任何奇数n，Prewellordering()和对任何偶数n，Prewellordering(。

再如，在ZFC中，可以证明：

　　如果A∈，则A可测，A有贝尔性质和完全子集性质；

　　如果A∈，则A可测，A有贝尔性质

　　如果A∈，则｜A｜=或｜A｜=，

　　如果A∈，则｜A｜=或｜A｜=或｜A｜=。

如果加上可测基数存在公理MC，则又可进一步得到：

　　如果A∈，则A可测，A有贝尔性质和完全子集性质(从而｜A｜=或｜A｜=)。

如果A∈，则｜A｜是，，或，等等。(参见射影集)