数理逻辑史

研究数理逻辑(广义)的孕育、发生和发展过程的一门历史性科学。

数理逻辑创建于17世纪末。17世纪是资本主义上升时期，社会生产力获得了突飞猛进的发展。随着生产力的发展，自然科学得到了长足的进步。数学方法在认识自然、发展技术方面在当时起了十分重要的作用。在这样的情况下，一些思想家提出了把数学方法应用到逻辑领域的设想。同时，传统形式逻辑所使用的形式的表述方法为建立新逻辑提供了一些必要的工具，而它的严重局限性(例如，囿于主谓式命题，没有精确的量词理论和关系理论)，也为用数学方法克服其局限性、建立新逻辑指明了方向。数理逻辑就是在这样的社会历史背景下产生的。它产生之后，由于同数学基础研究中大量的逻辑问题紧密联系在一起，因而得到进一步发展。数理逻辑的产生和发展可分为：①初创时期，②奠基时期，③发展初期，④现代发展时期。

初创时期 这一时期的主要特点是用数学方法处理传统形式逻辑的问题，大约延续了200年；主要成果是布尔代数和关系逻辑。G．W．莱布尼茨是数理逻辑的创始人，他提出了建立理性演算和普遍语言的设想，并成功地用数学方法解释了亚里士多德的推理。他所构造的一种包含和被包含的演算是一种可以进行非算术解释的代数演算系统。G．布尔发展了莱布尼茨的思想，建立了可以作不同解释的逻辑代数。这种代数的最重要解释是类的解释。根据这种解释，类演算中有些规律与数量代数的规律是相同的，有些规律是类演算特有的。布尔使用类演算的公式对传统形式逻辑中的直言命题和三段论推理作了处理。他还对逻辑代数作了命题演算的解释和概率的解释。A．德·根突破了传统形式逻辑的局限性，创建了关系逻辑，为后来关系逻辑的发展奠定了基础。W．S．耶方斯、C．S．皮尔士和E．施罗德改进和发展了布尔代数；H．麦柯尔从另一方向发展逻辑代数，使命题逻辑从类演算中独立出来，构成了一个系统，标志着在G．弗雷格的逻辑演算建立之前命题逻辑发展的最高水平。皮尔士对发展德·摩根的关系逻辑作出重要贡献。

奠基时期 这一时期从19世纪70年代起到20世纪20年代止，主要结果有：逻辑演算、集合论理论、逻辑类型论、直觉主义逻辑、形式公理方法和证明论。建立逻辑演算的工作是由弗雷格、G．皮亚诺和B．罗素完成的。1879年，弗雷格《概念语言》的出版标志着逻辑演算的正式建立，标志着数理逻辑史由开创时期进入奠基时期。逻辑演算建立后不断得到完善和发展，在此基础上产生出非经典逻辑。集合论是G．F．康托尔建立的。他把“与其真子集合一一对应”看成是无穷集合的本质特征，提出了可数集与不可数集之间的区别，建立了超穷基数和超穷序数的理论。由于康托尔的集合论是朴素的、直观的，缺乏数学的严格性，因而在集合论中出现了悖论，引起第三次数学危机。E．F．F．策尔梅洛等人克服了康托尔集合论的缺点，建立了公理集合论，排除了已知的悖论。罗素提出了逻辑类型论来排除已知的悖论。面对第三次数学危机，以L．E．J．布劳维尔为首的直觉主义学派以潜无穷论为出发点，提出了“在数学中不能普遍使用排中律”和“数学对象的可构造性”的原则，创建了直觉主义数学即构造性数学，并依据直觉主义数学创建了直觉主义逻辑。公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。D．希尔伯特于1899年建立了欧几里得几何的形式公理系统，并解决了公理方法的一些重要的逻辑理论问题，把公理方法提高到崭新的阶段。在第三次数学危机之后，希尔伯特为了解决数学的基础问题，以形式公理学为基础，在20世纪20年代提出了一种方案，史称“希尔伯特方案”。其主要思想是，将某一数学理论组成一个完全形式化的公理系统，用一种初等方法(有穷方法)研究这系统中的证明，如果能断定此种证明不会导致逻辑矛盾，那么这个系统就是一致的。在希尔伯特方案的影响下，形成了数理逻辑的一个分支——证明论。

发展初期 20世纪30年代属于这一时期，这一时期取得了极其重要的丰硕成果。K．哥德尔关于谓词演算的完全性定理和关于形式算术系统的不完全性定理是其核心。不完全性定理表明，一个形式系统如果是包含算术在内的一致的系统，那么它就是不完全的和不可完全的，它的一致性不能用系统中的工具来证明。这一定理深刻地揭示了形式系统的内在局限性，开辟了数理逻辑的新纪元，带来了一系列丰硕的成果：希尔伯特方案得到修改，增加超穷归纳法作为证明论的工具；A．塔尔斯基提出了形式语言中真值概念的理论；J．艾尔布朗－哥德尔－S．C．克利尼的一般递归函数理论；图灵机理论；A．丘奇关于谓词演算的不可判定性定理；等等。一般递归函数理论和图灵机理论使直观的能行性和机械过程的概念得到精确的数学描述，奠定了递归论进一步发展的基础。

现代发展时期 数理逻辑从20世纪40年代起进入现代发展时期。它一方面继续向逻辑方向发展，建立了非经典逻辑的许多分支；另一方面向数学方向发展，公理集合论、证明论和递归论取得很多结果，模型论正式建立并得到进一步发展，它们逐渐发展成为数学的分支，并与其他数学分支和计算机科学等建立了广泛的联系。