文恩图解

英国逻辑学家J．文恩于1880年创造了在矩形中画相交的圆或椭圆等以解说和验证集合代数的方法。文恩图解是对欧拉图解的改进。通常所用的文恩图解已得到了一些改进。文恩图解可以解说和验证传统逻辑中关于直言命题的推理形式及其局限性，即可以解说和验证一元谓词逻辑的许多推理形式的普遍有效性。

文恩图解的基本形式 以矩形表示论域，矩形中的圆表示集合。每个圆把矩形分为两个集合：任一集合及其补集。图1只有1个变元，其中的圆是任意集合A，圆外的部分是A的补集A′。图2有2个变元，其中相交的2圆A和B把矩形分为4个区域：集合AB′(即A∩B′，其中的∩省略，下同此)；A′B；AB和A′B′。图3中有3个变元，其中互相相交的3圆A，B和C把矩形分为8个区域：集合AB′C′；A′BC′；A′B′C；ABC′；A′BC；AB′C；ABC；A′B′C′。图4有4个变元，是4个互相相交的椭圆A，B，C和D，表示4个集合。含有更多变元的文恩图解更为复杂，使用起来并不方便。

文恩图解表示集合的运算 文恩图解不仅可以表示补集，而且可以表示并集和交集。要讨论的那个集合画上影线以示醒目。图5表示A∪B。图6表示A∩B。图7中无影线的部分恰好是图8中有影线的部分，这就验证了德·摩根律之一(A∩B)′=A′∪B′。图9中有影线的部分恰好是图10中有双重影线的部分，这就验证了∪对∩的分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

文恩图解表示直言命题的推理 欧拉图解不仅不能表示论域，而且图解中的圆均代表非空集合。文恩图解的特点是可以标明某一集合是否为空集。在某一区域中画叉“×”表示它不是空集；而画影线表示它是空集。SAP即SP，意为没有个体属于S而不属于P，即SP′=Φ。SEP意为没有个体即属于S又属于P，即SP=Φ。SIP意为有个体既属于S又属于P，即SP≠Φ。SOP意为有个体属于S而不属于P，即SP′≠Φ。图11～14分别表示A，E，I，O等4种直言命题形式。图11，12表明全称命题主项所指称的集合不一定是非空的。图13，14表示特称命题主项所指称的集合是非空的。有时需要画带锁链“－”的叉来表示某几个区域中至少有一个区域是非空的。如图15表示S≠Φ。图16表示A∩(B∪C)≠Φ。有时影线和叉在同一区域中出现，则影线压倒叉，即该区域应该是空的。如果把AC≠Φ，CB表示在图17上，就显示出AB′C=Φ，而ABC≠Φ。当一条叉锁链(包括只有一个叉的情况)中每一个叉都被影线覆盖时，图解是矛盾的。如果把AB≠Φ，BC=Φ，AC表示在图18上，就出现矛盾。图11，14表明SAP与SOP矛盾。图12，13表明SEP与SIP矛盾。图11，12表明当S=Φ时，SAP与SEP同真，也表明SIP与SOP同假。图11，13表明SAP真时SIP不必真。图12，14表明SEP真时SOP不必真。从图A可以得到图B，就验证了具有图A所表示的形式的命题，可有效地推出具有图B所表示的形式的命题。从图A不能得到图B，就验证了相应的推理是无效的。图15，11，13表明S≠Φ并且SAP可推出SIP。图11，13表明SAP推不出SIP。文恩图解验证了换质的有效性。SEP′是SP″=Φ，即SP=Φ。SAP与SEP′的图解都是图11。SEP与SAP′；SIP与SOP′；SOP与SIP″的图解分别都是图12，13和14。文恩图解显示了传统逻辑换位理论的局限性。图19是PAS的图解。图13也是PIS的图解。从图11显然得不到图19，也得不到图13，这表示SAP不能换位，而SIP的换位是有效的。PES的图解也是图12，故SEP的换位有效。POS的图解是图20。从图14得不到图20，这表明SOP不能换位。文恩图解可验证三段论的有效性。图21是barbara的图解。图22是celarent(三段论第一格EAE式)的图解。图23是darii(三段论第一格AII式)的图解。图24是ferio(三段论第一格EIO式)的图解。从图21得不到图25，这表明barbari(三段论第一格AAI)是无效的。从文恩图解上可以看出，没有特称前提的三段论，结论不能是特称的。图26是dimaris(三段论第四格IAI)的图解。