相干逻辑

非古典逻辑的一个分支，关于相干蕴涵的逻辑。相干蕴涵是顾及命题在内容上的联系的一种联结词。命题之间在内容方面的联系是复杂多样的，相干蕴涵反映的则是可用命题变项之共同出现来表示的内容上的联系，也就是说，A相干蕴涵B的必要条件是A和B有共同的命题变项。发展相干逻辑的动机来自于对实质蕴涵和严格蕴涵的哲学批评，同时也是为了构造一些顾及命题在内容上的联系的逻辑系统。第一个完整的相干逻辑系统是德国逻辑学家W．阿克曼(1896～1962)于1956年所提出的严密蕴涵系统Ⅱ′，这系统后经美国的A．R．安德森(1925～1973)和，N．D．贝尔纳普(1930～)修改而成系统E，E中的衍推蕴涵同时顾及了命题间的必然联系和在内容上的联系。后来还出现了很多能满足相干蕴涵必要条件的逻辑系统，其中比较重要的有系统R。70～80年代期间，相干逻辑在语义和量词理论等方面都得到了很大的发展。

相干蕴涵系统R的公理模式和推理规则如下：

R1．A→A

R2．(A→B)→((B→C)→(A→C))

R3．(A→(B→C))→(B→(A→C))

R4．(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

R5．(A→B)∧(A→C)→(A→B∧C)

R6．A∧B→A

R7．A∧B→B

R8．A→A∨B

R9．B→A∨B

R10．(A→C)∧(B→C)→(A∨B→C)

R11．A∧(B∨C)→(A∧B)∨C

R12．(A→A)→A

R13．(A→B)→(B→A)

R14．A→A

R15．A→A

→E．从A和A→B可推出B，

∧I．从A和B可推出A∧B。

这里的→表示相干蕴涵，其它联结词与古典命题逻辑的相同。将系统R的公理模式R3换成(A→((D→E)→C))→((D→E)→(A→C))，所得到的系统就是E。跟E不同，在R中不能定义模态概念，也就是说不能定义具有模态基本特性的一元联结词。反映R系统根本特性的是相干原理：如果A→B是R的定理，那么A和B有共同的命题变项。

将系统R公理模式R4换成(A→B)→((C→A)→(C→B))，就得到系统T，这系统对蕴涵的要求比E还严格，在系统内也不能定义模态概念。在系统E和R中附加公理模式(A→B)→(A→(A→B))，所产生的系统是EM和RM。系统RM是可判定的。它有许多惊人的特征，最令人惊奇的是Craig插值定理在其中不成立。系统RM不满足相干原理，但它满足弱相干原理：如果A→B是RM的定理，那末或者A和B有共同的命题变项，或者A和B都是RM的定理。取□为初始的一元联结词，对R系统附加下列公理模式□1～□4和推理规□I，我们将得到系统R：

系统R的重要性就在于，在该系统中既能讨论相干蕴涵和模态词各自的性质，也能讨论它们之间的相互作用。此外，还能在系统R中定义衍推蕴涵为□(A→B)，以此来讨论衍推蕴涵的一些性质。系统E的定理在一定的转换下都成为系统R的定理。

1963年安德森就系统E提出了一些问题，其中有这样3个主要问题：①阿克曼γ－规则的可接受性问题；②判定问题；③语义问题。从现在来看，这3个问题已基本上解决。在系统R和E中都可以从A∨B和A推出B，但都不可从A和A∨B推出B，这也就是说，R和E都接受阿克曼的γ－规则，但都拒绝选言三段论。相干逻辑的量词理论EQ、RQ和类型论R也都可接受γ－规则，但相干算术系统R能否接受γ－规则还有待研究，这是相干逻辑当前研究的重要问题之一。为解决系统E和R的判定问题，逻辑学家花了20多年的时间，直到1982年才证明了它们是不可判定的。在解决这问题的过程中也得到了不少肯定性结果，证明了一部分R的子系统是可判定的。系统E和R现在既有代数语义也有克里普克式的关系语义。

相干逻辑的关系语义，由R．K．梅尔和R．卢特雷于1972年提出。这种语义类似于模态逻辑的克里普克关系语义，但是可能世界之间的可达关系为一个三元关系所替代，而且可能世界现在也不一定是相容的和完全的。就相干逻辑系统R而言，这种语义的基本概念是R－构架的概念。一个R－构架就是一个结构(K，R，o，*)，这里K是一个非空集，R是K上的一个三元关系，*是K上的一个一元运算，o∈K，并且它们满足下列条件：

①Roaa；(恒等性)

②若Rabc则Rbac；(可换性)

③若R(ab)cd则Ra(bc)d；(结合性)

④Raaa；

⑤若Rabc且a′≤a，则Ra′bc；(单调性)

⑥a=a；

⑦若Rabc，则Rac*b*。(反演性)

这里，a≤b，R(ab)cd和Ra(bc)d的定义如下：

a≤b定义为Roab；

R(ab)cd定义为有x使得Rabx且Rxcd；

Ra(bc)d定义为有x使得Raxd且Rbcx。

所谓一个模型是指一个结构M=(K，R，o，*，)，这里(K，R，o，*)是一个R－构架，是K中元素和R的语句之间的一个关系，满足下列条件：

①(原子可传性条件)如果对于命题变项p有ap和a≤b，那未bp；

②(赋值子句)对于任意的A和B有，

(→)aA→B当且仅当对一切b，c∈K，如果Rabc且bA则cB；

(∧)aA∧B当且仅当aA且aB；

(∨)aA∨B当且仅当aA或aB；

()aA当且仅当并非a*A。

如果oA，则称模型M证实A。如果A为所有模型所证实，则称A为有效的。系统R相对于这样的语义是可靠而又完全的，即，A是有效的当且仅当A是R的定理。如果对于R－构架再附加一个要求：o≤a或o≤a*，那么我们就得到RM－构架的概念。系统RM相对于由这一概念建立起来的关系语义是可靠而又完全的。类似地，适当调整R－构架所应满足的条件，可以得到相应于R的子系统或扩张系统的构架概念，从而建立起它们的克里普克式关系语义。

利用克里普克式关系语义，可以证明系统R或有关系统的一些用其它方法难以处理甚或不能处理的结果。例如可以用语义方法证明R是γ－规则可接受的。最有意义的是可以用这样的方法来证明R的“Hallden完全性”，即，如果A∨B是R的定理并且A和B无共同的命题变项，那么A是R的定理或者B是R的定理。