形式主义

在第三次数学危机之后产生的一种解决数学基础问题的理论，由此形成的学派称为形式主义学派或公理学派，以D．希尔伯特为代表，其成员有希尔伯特的学生和合作者P．贝奈斯、W．阿克曼、J．von诺伊曼和G．根岑等人。希尔伯特提出的解决数学基础问题的方案被称为“希尔伯特方案”，其主要内容是：为了消除对数学基础可靠性的怀疑，避免出现悖论，就要设法绝对地证明数学的一致性，使数学奠定在严格的公理化的基础上。具体地说就是，把各门数学形式化，构成形式系统或形式理论，并证明各形式系统的一致性，从而导出全部数学的一致性。希尔伯特认为，有3种数学理论：①直观的非形式化的数学理论；②把第一种数学理论形式化，构成形式系统，其中包含逻辑演算，直观数学理论中的基本概念转换为形式系统中的初始符号，命题转换为符号公式，推演规则转换为符号公式之间的变形关系，证明转换为符号公式的有穷序列；③描述和研究第二种数学理论的数学，称为“元数学”或“证明论”。元数学主要研究形式系统的一致性证明，即要达到这样的结果：从该系统的公理(一系列的符号)出发，经过它的推理规则所规定的转换，最后不会得出两行“0=1”和“0≠1”符号。形式系统是对象理论；元数学是研究对象理论的元理论，是一种非形式的直观的数学。在元数学中所用的方法只限于“有穷方法”，其特点是：只使用直观上可感觉到的东西，只使用能行的过程，不假定实无穷。希尔伯特方案提出之后，阿克曼在1924年取得以下结果：如果对归纳规则加上一点限制，那么所得的初等数论是一致的。诺伊曼也得到类似的结果。他们的结果实际上对希尔伯特方案作了修改。1931年，哥德尔不完全性定理公诸于世，这一定理是说：如果形式数论系统是一致的，那么它就是不完全的；并且形式数论系统的一致性在系统内部是不可证明的。这给希尔伯特方案以巨大的打击，迫使希尔伯特学派修改其原来的方案。

1936年，根岑用超穷归纳法证明了算术的一致性。1940年，阿克曼也用超穷归纳法给出算术一致性的另一个证明。此外，在40年代和50年代还有一些数理逻辑学家对算术的一致性作出了证明。这些证明的共同点是：在某些方面使用了在形式算术中不能形式化的论证，也就是说，使用了比有穷方法较强的方法。阿克曼在1924年所用的方法是有穷的，可在形式系统中加以形式化，因而根据哥德尔定理，用这种方法不能作出整个算术系统的一致性证明。希尔伯特方案在哥德尔定理之后，经过修改，放宽了原来的“有穷方法”的限制，终于由假说变为科学，在数理逻辑中开辟了证明论的研究方向。

形式主义学派是数学基础和数理逻辑中的一个学派，同哲学中那种脱离内容、夸大形式的唯心主义的形式主义流派是完全不同的。形式主义这一名称是L．E．J．布劳维尔在数学基础的争论中首先使用的，他把形式主义同自己的理论——直觉主义对立起来，并把希尔伯特方案称为形式主义的代表。此后，有不少数理逻辑文献便把希尔伯特学派称为形式主义学派。其实，这一名称并不准确，著名数理逻辑学家S．C．克利尼称它为公理学派，这是比较准确的。希尔伯特本人并不自命为形式主义者，他关于数学的哲学观点基本上是朴素唯物主义的。在后来有些自称形式主义者的数理逻辑学家之中，有人曾提出了唯心主义的数学哲学观点，如认为一致性是数学真理的标准，数学研究的对象在现实世界中是不存在的，只是一些毫无内容的符号，等等，但这些哲学观点应和希尔伯特本人的观点加以区别，更要和从希尔伯特方案发展而来的证明论相区别。